Um método para resolver equações do segundo grau em números racionais – Parte I

O algoritmo de Euclides encontra aplicação na resolução de equações do primeiro grau, da forma ax-by=c. De facto, a respectiva solução trata-se de uma aplicação directa do teorema de Bézout e o problema torna-se deveras simples. Neste texto, centrar-nos-emos na resolução de equações do segundo grau com base nos números racionais.

Consideremos a equação da forma ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0 na qual x e y são as incógnitas e a, b, c, d, e, f são números inteiros. Reescrevemo-la como

ax^2+x\left(by+d\right)+\frac{\left(by+d\right)^2}{4a}=\frac{\left(by+d\right)^2-4a\left(cy^2+ey+f\right)}{4a}

Como no primeiro membro temos um caso notável, após reduzir ao mesmo denominador, ficamos com a equação equivalente

\left(2ax+by+d\right)^2=\left(by+d\right)^2-4a\left(cy^2+ey+f\right)

Podemos fazer, por simplificação, t=2ax+by+d. Se expandirmos o segundo membro da equação, podemos escrevê-la como

t^2=Ay^2+2gy+h

onde A=b^2-4ac, g=bd-2ae e h=d^2-4af. Multiplicamos esta equação por A e construímos o caso notável para ficarmos com

\left(Ay+g\right)^2+Ah-g^2=At^2

Se fizermos u=Ay+g e B=g^2-Ah, temos

u^2-At^2=B

Se acharmos a solução racional \left(u,t\right) desta equação, obtemos a solução de ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0 por intermédio da transformação

\left\lbrace\begin{matrix}y=\frac{u-g}{A}\\x=\frac{t-by-d}{2a}\end{matrix}\right.

Suponhamos que as soluções desta última equação são da forma u=p/r e t=q/r. Então, reduzimos o nosso problema à determinação das soluções inteiras da equação

p^2-Aq^2=Br^2

Por exemplo, consideremos a equação 2x^2+3xy+y^2-x-y+1. Temos então A=1, h=-7, g=1 e B=8. A equação que pretendemos resolver em inteiros toma a forma

p^2-q^2=8r^2

Experimentando números (trata-se de um método pouco preciso), vemos que esta equação tem, como uma das soluções, p=3, q=1 e r=1 donde advém u=3 e t=1. As soluções da nossa equação inicial irão ser, de acordo com a transformação indicada, y=2 e x=-1 como pode ser verificado.

Resta indicar um método para resolver a equação reduzida, a qual foi resolvida por Lagrange. Contudo, o processo aqui utilizado deve-se a Legendre. A resolução da equação reduzida de acordo com este último autor será aqui descrita numa outra oportunidade.

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Sobre serolmar

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como programador. Frequento também o Programa Doutoral de Matemática da Universidade de Aveiro onde realizo alguma investigação, na área da optimização, sobre o problema da diversidade (caso particular do problema da p-mediana) e o problema da afectação quadrática. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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