Curvatura

Uma curva consiste numa aplicação do intervalo isubsR em mathRn que ao parâmetro t associa o vector positionvector . Define-se a velocidade da curva como sendo o vector

velocity 

O comprimento s(t) do arco de curva entre 0 e t é dado por

lengthfunction

Uma vez que

expressionrvtau

se se parametrizar a curva pelo parâmetro comprimento, esta é sempre percorrida com velocidade de norma unitária. Neste contexto, o vector tangente apenas indica a velocidade com que a curva muda de direcção. Inerente a esta ideia está o conceito de curvatura.

Pretende-se determinar qual é o ângulo formado pelo vector unitário à curva no instante s com o vector unitário tangente à curva no instante s+ds. Começa-se com a condição trivial

scalaprodtau

Derivando ambos os mebros da equação anterior obtém-se

difftaus 

e derivando novamente em ordem a s, vem

tauseconddiff

Da definição de produto escalar entre dois vectores resulta que

costhetatau

Expandindo cada um dos membros da equação em série de potências até à segunda ordem e utilizando as três equações anteriores obtém-se:

secondexpansiontautheta

Como as variações do ângulo e do parâmetro são infinitesimais, pode-se escrever

dthetadsdtauds

Define-se a curvatura como sendo

curvaturadef

que mede a velocidade com que a curva muda de direcção em função da distância percorrida.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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