Raízes de equações polinomais do segundo e terceiro graus

O objectivo deste artigo consiste em apresentar as fórmulas resolventes que utilizem apenas radicais para equações do segundo e terceiro graus. O métdo apresentado também é válido para a obtenção de uma fórmula resolvente para equações do quarto grau, o qual poderá ser discutido numa outra oportunidade.

Considere-se a equação eqquadratica e suponha-se que alpha1 e alpha2 são as duas raízes. Uma vez que

expansaoquadraticasimetricos

pode-se verificar que

sistemaquadraticosimetricos

Obervando que

relacaosimetricosquad 

podemos escrever o sistema de equações que se segue:

segundosistquad 

cujas soluções correspondem às raízes da equação, povendo uma fórmula resolvente para equações de segundo grau:

resultadoquad

Considere-se, agora, a equação de terceiro grau da forma cubica . Aplicando a transformação transfcubica , obtém-se uma nova equação da forma cubicareduzida onde

coefscubicareduzida

Da mesma forma que se procedeu para as equações quadráticas, se alpha1 , alpha2 e alpha3 forem solução da equação reduzida, então pode-se escrever as relações para os coeficientes:

coefssimetricoscubica

uma vez que o coeficiente de grau dois da equação reduzida tem valor nulo. Seja omega uma raíz cúbica da unidade diferente de 1 e definam-se as quantidades

definicaouvcubica

Tendo em atenção que relacaoomegacubica , um pouco de álgebra permite escrever

calculouvcubica

Não é difícil verificar que u3 e v3  são soluções da equação quadrática quadraticacubica . Resolvendo a equação anterior, determinam-se os valores de u e v respectivamente como raízes da equação em

valordeuvcubica

Tendo em consideração a definição de u e de v, bem como ao facto de se estar a tratar de um polinómio cuja soma das raízes é nula, podemos escrever o sistema

sistemafinalcubica

cuja solução corresponde à fórmula resolvente de terceiro grau e vale

solucsistemafinalcubica

Repara-se que a primeira solução não depende da raíz cúbica da unidade escolhida e corresponde à já conhecida fórmula resolvente de equações de terceiro grau

formulacubica

Uma vez que as outras soluções dependem da raíz cúbica da unidade escolhida, dá a sensação que as fórmulas obtidas serão diferentes conforme a escolha da raíz na definição de u e v. No entanto, a mudança entre as duas raízes na definição só vai permutar as fórmulas no resultado.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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