A fórmula de inversão de Lagrange

Considere-se a equação dada por uma série de potências da forma
form .
Sejam form2 o conjunto de raízes. No caso da série representar um polinómio, todos os coeficientes a partir de determinada ordem serão nulos e as raízes infinitas. Neste caso, pode-se escrever
form1 .
Dividindo ambos os membros da equação  por form3 e sendo form4 , depois de aplicar logaritmos e expandindo o segundo membro vem
form5 
Repare-se que, determinando a expansão em série do primeiro membro e igualando os coeficientes correspondentes às potências negativas de x, obtem-se uma expansão para as potências da raiz. Para o efeito, expande-se o primeiro membro resultando em
form6
Por intermédio da série geométrica, sabe-se que
form7 . Fazendo
form8, um simples processo de multiplicação de séries permite determinar que
form9
Substituindo na série para  o primeiro membro, agrupando os termos e comparando os coeficientes das potências negativas de x, tem-se
form10
e
form11
onde form12  corresponde à primeira raiz. Note-se que se trata de uma raiz da equação
form13.
Considere-se a equação mais geral
form14. Por comparação pode-se dizer que form15 e form16. Então a expressão para a raiz p desta equação é do tipo
form17
Por extrapolação, pode-se verificar que se pode obter uma forma para a expansão de uma qualquer função form19:
form18
que corresponde à reconhecida fórmula de inversão.

Este excerto foi retirado do artigo "Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries", usando uma notação recente e omitindo alguns passos, por motivo de espaço. Existe, contudo demonstraões bem mais simples. Penso que será um bom exercício compará-las.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
Esta entrada foi publicada em Matemática. ligação permanente.

Deixe uma Resposta

Preencha os seus detalhes abaixo ou clique num ícone para iniciar sessão:

Logótipo da WordPress.com

Está a comentar usando a sua conta WordPress.com Terminar Sessão / Alterar )

Imagem do Twitter

Está a comentar usando a sua conta Twitter Terminar Sessão / Alterar )

Facebook photo

Está a comentar usando a sua conta Facebook Terminar Sessão / Alterar )

Google+ photo

Está a comentar usando a sua conta Google+ Terminar Sessão / Alterar )

Connecting to %s