O paradoxo de Banach-Tarski

Em geometria, dois conjuntos dizem-se congruentes se se puder obter um deles a partir do outro por intermédio de uma isometria, a qual corresponde a uma sequência de translacções, rotações e reflexões.

isometria

No esquema, a figura geométrica 1 é transformada na figura 4 por intermédio de uma translacção segundo o vector v, uma rotação com centro em C e amplitude de 90º e ainda uma reflexão sobre a linha l. Desta forma, as figuras 1, 2, 3 e 4 são congruentes entre si. Analiticamente, uma isometria resulta da aplicação de uma função que preserve distâncias quaisquer dois pontos de um conjunto. Desta forma, f(x) é uma isometria se d(f(A),f(B))=d(A,B) para todos os pontos A e B do espaço.

Podemos formular o resultado da seguinte forma:
Seja BF(0,r) uma bola fechada de centro na origem e raio r no espaço tridimensional, isto é, uma esfera (incluindo a casca) colocada na origem e com raio r. Então, existe uma partição finita de BF(0,r) que, depois de rearranjada, forma duas bolas fechadas idênticas a BF(0,r).

Entenda-se por rearranjar a aplicação a cada subconjunto da partição de uma isometria. Do ponto de vista prático, pode-se dizer que é possível cortar uma esfera num número finito de pedaços, aplicar-lhes uma isometria e obter duas esferas fechadas iguais à primeira.

Apesar de ser um resultado demonstrado com rigor (procurar por paradoxo de banach tarski num motor de busca e seguir bibliografia subjacente), causa uma séria confusão do ponto de vista da intuição. A demonstração do resultado baseia-se no axioma de escolha em teoria de conjuntos, o qual permite a construção de conjuntos não mensuráveis na teoria de Lebesgue.

Esta ideia está um pouco relacionada com o facto de existirem bijecções entre, por exemplo, o conjunto dos números inteiros e o conjunto dos números racionais apesar do primeiro ser subconjunto do segundo.

Este pequeno pormenor denota a delicadeza inerente à definição de infinito.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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