Equações harmónicas em coordenadas hiperesféricas

As coordenadas esféricas para um número de dimensões n>1 são da forma
coords_esf
Uma vez que se trata de um sistema de coordenadas ortogonal, o respectivo tensor métrico é diagonal. O valores são dados por
metric_tensor
Neste sistema de coordenadas ainda se tem
lpcesg
Pretende-se resolver a equação lpleq (equação harmónica) neste sistema de coordenadas. Para o efeito, aplica-se a técnica da separação de variáveis, escrevendovar_sep.
A separação de variáveis leva ao conjunto de equações
eq_sep_vars
onde 0<i<n. É habitual procurar soluções injectivas e diferenciáveis, o que leva à imposição de condições fronteira nestas equações. A primeira equação é facilmente resolvida com o auxílio das já conhecidas funções circulares. No entanto, para as equações intermédias, depois de se fazer uma substituição do tipo equalt, obtêm-se as equações na forma
equ_final.
As condições fronteira irão impôr uma forma para as constantes introduzidas. No caso de n=3, só existe uma equação intermédia cuja solução é dada pelos harmónicos esféricos. No caso de n>3, a solução é dada com o auxílio dos polinómios ultrasféricos, só ainda não sei é como.

Deixo aqui uma nota de que fui eu que fiz as contas e, portanto, são resultados propícios a erro. Saliento, porém que a equação radial está correcta.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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