Uma aplicação do princípio da acção estacionária

Na entrada O princípio da acção estacionária, apresentei uma descrição analítica da mecânica. De facto, a descrição em termos deste princípio abrange toda a física. Suponha-se que se está na presença de um sistema mecânico com apenas uma partícula livre com velocidade nula num referencial com coordenadas x, y e z. Foi observado que o sistema obedece às equações de Euler-Lagrange

Onde L=T para a partícula livre e . Vejamos como fica a descrição do ponto de vista de um referencial com rotação uniforme. Para o efeito, considerem-se as novas coordenadas generalizadas X e Y em função das coordenadas rectangulares x e y dadas pela seguinte mudança de coordenadas.

mudanca_coords

Derivando em ordem ao parâmetro t e substituindo na expressão para a energia cinética T, obtém-se

energia_cinetica

Sabe-se ainda que L=T para uma partícula livre. Neste caso, as equações de Euler-Lagrange tornam-se

equacoes_part_livre

Repare-se no aparecimento de dois termos que dependem das coordenadas e das velocidades. Tais termos correspondem a forças fictícias que são automaticamente introduzidas por não se estar na presença de um referencial inercial. O termo intermédio corresponde à força de Coriolis e o termo final corresponde à força centrípeta.
Pode-se verificar que o método dos lagrangianos não carece da introdução de termos adicionais quando se faz a descrição a partir de um referencial não inercial.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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