Um problema pouco intuitivo

Uma vez, deparei-me com um problema de matemática bastante peculiar cuja solução é pouco intuitiva. Este, pode ser enunciado da seguinte maneira:

Considere-se um círculo de raio r fixo sobre o qual roda um segundo círculo com o mesmo raio. Supondo que o círculo móvel dá uma volta completa em torno do círculo fixo, quantas voltas dá sobre si mesmo?

Intuitivamente a resposta seria: uma volta. No entanto, dá precisamente duas voltas. Claro que experimentei fazer um teste com moedas e, para minha surpresa, a moeda móvel dava duas voltas sobre si mesma sempre que contornava a moeda fixa uma vez. A imagem seguinte permite ilustrar esse aspecto.

circulo

Sempre que o círculo móvel, a branco, dá uma volta completa (a rolar sem deslizar) ao círculo fixo, a verde, o círculo branco dá duas voltas sobre si mesmo.

Para ver porque é que isso acontece, estudemos em primeiro lugar, o caso em que o círculo rola numa recta.

circulo1

Se o círculo não desliza, então as distâncias a azul são iguais, isto é, o comprimento do arco QP’ é igual à translacção do círculo CC’. Suponhamos agora que temos um círculo de raio r a rolar sobre um círculo fixo de raio R.

circulo2

Consideramos um deslocamento infinitesimal sobre o círculo fixo. Pela observação anterior, o comprimento do arco QP’ é igual à translacção do círculo CC’. Assim sendo, resulta que

form1

Se os raios forem iguais então form2. Pode-se observar que realmente, sempre que o círculo móvel dá uma volta em torno do círculo fixo, então terá de dar duas voltas sobre si mesmo, apesar de ser um pouco contra a intuição.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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