O problema do empacotamento

O problema do empacotamento consiste em determinar os centros e raios de uma infinidade de círculos de forma a que estes possam cobrir completamente um quadrado de lado unitário. Certamente, o primeiro círculo será centrado no centro do quadrado e terá raio igual a 1/2. A figura seguinte figura permite dar uma visão geral do problema.

empacotamento_circulos

Para determinar os outros círculos, três problemas têm de ser resolvidos:

  1. Determinar um círculo tangente a duas rectas dadas e a um segundo círculo também tangente às duas rectas.
  2. Determinar um círculo tangente a uma recta e a outros dois círculos dados. Neste caso, os círculos dados são tangentes entre si e tangentes à recta inicial.
  3. Determinar um círculo tangente a outros três círculos que por sua vez são tangentes entre si.

O terceiro problema tem duas soluções, nomeadamente uma interna (o círculo tangente está envolvido pelos outros círculos) e uma externa (o círculo tangente envolve os círculos dados). A solução deste problema é indicada pelo teorema dos círculos que se beijam. Não irei apresentar aqui uma construção dum círculo nestas condições.
O primeiro problema facilmente é resolvido. Considerando o círculo de centro em A e as rectas r e s tangentes ao mesmo e que se intersectam no vértice V. No caso das rectas serem paralelas, ainda se torna mais simples a construção que nem vale a pena considerá-la aqui.

2rects_tang_2

Desenha-se a recta VA que intersecta o círculo no ponto B. Traça-se a tangente ao círculo no ponto B cuja intersecão com as rectas r e s resultam nos pontos C e D respectivamente. Traça-se a mediana do ângulo <VCD, intersectando no ponto E. O círculo pretendido tem centro no ponto E e raio d(E,B), onde d(A,B) representa a distância entre os pontos A e B.
Sejam agora dois círculos tangentes entre si com centros nos pontos A e B e considere-se a recta r tangente a ambos.

ultima_construcao1

Determina-se o ponto de tangência do círculo de centro em B com a recta r. Condidera-se a recta CA e determinam-se os pontos E e D resultantes da intersecção da mesma com o círculo de centro em A. Desenha-se o círculo a com centro em C e que passa por E. Constroi-se as tangentes ao círculo a que passam pelo ponto D, determinando os pontos de tangência T e T’. Seja F o ponto de tangência da corda TT’ com a recta CA, G o ponto médio entre E e F e s a recta paralela a r que passa pelo ponto G. Pode-se, então, desenhar o círculo b com centro em G e raio d(F,E), determinando H como sendo a intersecção do círculo b com a recta s. Desenh-ase o círculo c com centro em H e tangente à recta r.

ultima_construcao3

Desenhe-se a recta CH que intersecta o círculo c nos pontos I e J. Traça-se, por I, uma perpendicular a CH por forma a intersectar o círculo a no ponto K. Constroi-se a tangente ao círculo a no ponto K cuja intersecção com a recta CH determina o ponto I’.

ultima_construcao4

Traçam-se, por J, as tangentes ao círculo a, cujos pontos de tangência são L e M. Seja J’ o ponto de intersecção das rectas LM e CH e N o ponto médio de I’ e J’. O círculo pretendido tem centro em N e raio d(N,I’)=d(N;J’).

Deixo aqui uma observação de que o problema do empacotamento não tem qualquer relação com o "levar no pacote" da gíria comum, respeitemos a língua portuguesa.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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