Integração simbólica

O problema da integração baseia-se na determinação de uma função F(x) de tal forma que a sua derivada seja igual a f(x)+c, onde c é a constante de integração. Uma vez que o conjunto de todas as funções é demasiado extenso, normalmente pretende-se um algoritmo de integração que funcione numa classe restrita de funções.
Uma função elementar é aquela que pode ser obtida a partir de uma função racional em x repetidamente aninhando logaritmos, exponenciais e funções algébricas. Uma vez que as funções trigonométricas podem ser escritas como combinação de exponenciais no corpo dos complexos, também são consideradas funções elementares. Fica aqui uma nota de que o conjunto de funções elementares pode ser extendido como sendo o conjunto de todas as funções que satisfaçam uma determinada família de equações diferenciais. Esta nova definição pode incluir as funções hipergeométricas, elípticas e outras funções já bem conhecidas no plano das funções mais utilizadas.
O primeiro obstáculo que se põe, consiste em determinar se o integral de uma função elementar é também uma função elementar. Os trabalhos de Abel e Liouville permitiram elaborar um processo para esse efeito. Por exemplo, é possível provar que os integrais

integrais_não_elementares

não podem ser escritos, em termos finitos, como combinação de funções elementares.
O algoritmo para a integração de funções racionais, isto é, funções que podem ser escritos como o quociente p(x)/q(x), onde p(x) e q(x) são polinómios com coeficientes num corpo qualquer (cujos elementos podem ser funções em outras varáveis) data desde a altura de Newton, Leibnitz e foi finalmente refinado por Bernoulli.
Seja f(x)=p(x)/q(x). Se q(x) tem r zeros ai com multiplicidades ei, então pode-se usar a decomposição em fracções

decomposição_fracções

cujo integral F(x) é da forma u(x)+v(x), onde u é racional e v é combinação de logaritmos, obtida pela integração termo a termo na expansão anterior. O grande inconveniente deste método reside no facto da necessidade da factorização do denominador q. No entanto, para determinar u(x) não é necessária. Isso pode ser levado a cabo com a redução de Hilbert, a qual vou expor brevemente de seguida.
Primeiro, obtém-se a factorização livre de quadrados D de q(x), e escrevendo, supondo m>2 (senão o denominador já seria livre de quadrados)

factorizacao_escrita

Uma vez que mdc(UV’,V)=1, pode-se, com o auxílio do algoritmo extendido de Euclides, determinar polinómios B e C tal que o grau de B é inferior ao grau de V e

eucl_expr

Então, é válida a fórmula de recorrência

recorrencia

Esta fórmula permite diminuir o grau ao denominador até se estar na presença de uma denominador livre de quadrados. O algoritmo baseado nas decomposição em fracções pode ser utilizado para determinar o integral cujo denominador é livre de quadrados.
A título de exemplo, considere-se o integral

integral_example

Pode-se verificar que o denominador tem a factorização livre de quadrados

facto

Fazendo V=x, o algoritmo de euclides extendido permite escrever, uma vez que m=2

expansao_example

A fórmula de recorrência resulta em

result_medio

Aplicando sucessivamente a fórmula de recorrência, determina-se o resultado como sendo

resultado

Para mais pormenores, consultar Symbolic Integration I de Manuel Bronstein. Este método pode ser extendido a outros tipos de funções elementares.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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