Teoria quântica relativista

Começando com a relação clássica entre o momento e a energia, aplicando a prescrição quântica (substituir o momento e a energia pelos respectivos operadores), obtém-se a equação de Schrödinger cuja derivada temporal é de primeira ordem.
No caso da relatividade geral, a energia corresponde à componente de índice 0 do 4-vector momento, mas a perscrição quântica é válida também neste caso. Sabe-se da teoria da relatividade que a norma do momento vale mc, isto é

relation.

Substituindo as componentes do momento pelos operadores, de acordo com o habitual em mecânica quântica, obtém-se a equação de Klein-Gordon:

kgeq.

No entanto, esta equação é incompatível com a interpretação estatística da função de onda por ser de segunda ordem na variável temporal.
Para obter uma equação relativista que fosse de primeira ordem na variável temporal, Dirac observou que o primeiro membro da relação relativista pode ser factorizado de alguma maneira, isto é, supondo que é possível escrever

factor.

A expansão do segundo membro da equação anterior resulta em

expand

e como não se pretende termos lineares em p, escolhe-se simple_eq. O membro fica factorizado caso se escolham os parâmetros de modo que

needvar

que é o mesmo que considerar

relations

Este sistema só possui soluções no caso de se considerarem os parâmetros como sendo matrizes, ao invés de se considerarem números reais ou complexos. As menores matrizes que funcionam são do tipo 4×4. Escreve-se uma solução em matrizes 4×4 como

matrizes_solucao

onde

sigmai

são as matrizes de Pauli. Assim, se obtém um sistema de quatro equações, designado por equação de Dirac, que se obtém de igualar a zero apenas um dos factores (não é muito relevante qual):

dequ

depois de substituir o momento pelo operador correspondente. Esta equação também pode ser obtida a partir de um Lagrangiano, por intermédio das equações de Euler-Lagrange, apesar da sua natureza vectorial.
Como a derivada temporal é de primeira ordem, a equação fica compatível com a interpretação estatísitca. No entanto, permite soluções com energia negativa. Para impedir que as partículas transitem indefinidamente ao longo dos níveis negativos, postula-se que estes estejam completamente preenchidos. Sempre que uma dessas partículas transita para um estado de energia positiva, fica uma lacuna que, do ponto de vista experimental, corresponde a uma outra partícula, a antipartícula. Por exemplo, um positrão corresponde à lacuna deixada por um electrão que transita de um nível de energia negativo para um nível de energia positivo.

Ver Introduction to Elementary Particles do David Griffiths para uma descrição mais detalhada.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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