A função gama

Considere-se o integral indefinido

 integral1.

Derivando sucessivamente ambos os membros da equação n vezes em ordem a x, obtém-se em x=1

integral3

expressão que pode ser considerada uma generalização de n! no caso de n não ser um número natural. Define-se a função gama por

integral4.

Sabe-se ainda que

limit1,

de onde se conclui o resultado

integral5_lim

que, com a mudança de variável da forma mudancavariavel, reduz o integral sob limite a

limit2_gama_beta,

em que

integral6_beta.

Por substituição directa na definição, facilmente se verifica que result1 e ainda que result2, obtida com o auxílio da integração por partes. A combinação das duas expressões resulta na fórmula de recorrência

result3.

Aplicando a expressão anterior de forma recursiva para y=n+1, obtém-se, substituindo na expressão para a função gama, a fórmula

limit3_gama.

Escrevendo a função seno como o produto

result4_sin

e utilizando a expressão anterior para gama em x e x-1, obtém-se a famosa fórmula de reflexão

result5_reflex.

A função gama, as suas generalizações e as suas derivadas desempenham um papel importante em teoria dos números. Uma aproximação assimptótica desta função tem também aplicações em teoria das probabilidades com aplicações em física estatística.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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