Um Teorema em Teoria dos Números

Na Mémoire de Lagrange com o título Démonstration d’un Théorem Nouveu Concernant les Nombres Premiers, ou Demonstração de um novo Teorema relacionado com Números Primos, é apresentada uma demonstração de um teorema que aparece numa obra de Waring em que este último o atribui a Wilson, nome pelo qual o teorema é conhecido. O teorema tem o seguinte enunciado:

Se n é um número primo qualquer, então o número (n-1)!+1 é divisível por n.

Por exemplo, se n=3 então 2!+1=3 ou se n=5 então 4!+1=25 e 25 e divisível por 5. Para a sua demonstração, define-se

definicao_pol_fac.

Pretende-se encontrar a expansão do polinómio (x+1)n-1, isto é, determinar os coeficientes da série

expansion.

Para esse efeito, observa-se que

expansion_1.

Multiplicando esta equação por (x+1) e comparando com a precendente multiplicada por (x+n), obtém-se a recorrência para os coeficientes:

coeffs

onde C(n,p) representa as combinações de n elementos p a p, números inteiros. Além disso é fácil constatar a partir da fórmula para C(n,p) onde p difere de zero ou n que, sendo n um número primo então n divide C(n,p) (uma vez que n aparece em denominador e nunca pode ser cancelado pelos factores do numerador pois é primo). Assim sendo, se n for primo, todos os coeficientes da expansão são divisíveis por n com excepção do último onde os coeficientes binomiais são unitários.
Tem-se então:

divi

Como todos os outros coeficientes são divisíveis por n então também o é a[n-1]+1. Desta forma, pode-se imediatamente concluir que

res_f

é divisível por n se n é primo. Fazendo x=0, completa-se a prova.
Identifica-se na expressão anterior uma relação íntima deste teorema com o pequeno teorema de Fermat para o qual Euler engendrou uma série de provas. É com base nesta identificação entre os teoremas que constitui a prova do teorema mais usual na literatura actual (ver aqui).

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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