A lei dos senos e a dedução geométrica da fórmula de soma

A lei dos senos consiste numa relação de proporção entre cada um dos lados e os senos dos respectivos ângulos opostos. Considere-se a figura seguinte que representa um triângulo.

leidossenos

O segmento h consiste na altura do triângulo correspondente ao lado c. Esta altura divide o triângulo em dois triângulos rectângulos que podem ser resolvidos por intermédio das relações trigonométricas. Desta forma, tem-se

h=b\sin{A}=a\sin{B}

e daqui vem

\frac{\sin{A}}{a}=\frac{\sin{B}}{b}=\frac{\sin{C}}{c}

relação que pode ser obtida quando se consideram as alturas relativas aos outros dois lados. À expressão anterior dá-se a designação de lei dos senos. Esta lei é muito útil na resolução de problemas relacionados com triângulos genéricos. De facto, a partir daqui, pode-se concluir que a lados iguais correspondem ângulos opostos iguais.
Aplicando as regras trigonométricas a ambos os triângulos cuja altura h é um dos lados, obtém-se

c=a\cos{B}+b\cos{A}

Da lei dos senos correspondente aos lados a e c, isto é,

\frac{\sin{A}}{a}=\frac{\sin{C}}{c}

tiramos

\sin{C}=\frac{c}{a}\sin{A}

A substituição de c pela fórmula c=a\cos{B}+b\cos{A} conduz a

\sin{C}=\sin{A}\cos{B}+\frac{b}{a}\cos{A}\sin{A}

A lei dos senos entre os lados a e b permite-nos escrever

\sin{A}=\frac{a}{b}\sin{B}

que, substituído na expressão anterior proporciona a fórmula

\sin{C}=\sin{A}\cos{B}+\sin{B}\cos{A}

Uma vez que a soma de todos os ângulos internos de um triângulo vale meia volta, isto é, C=180-(A+B) e \sin{C}=\sin{(A+B)}, tem-se a fórmula para a soma no caso do seno:

\sin{(A+B)}=\sin{A}\cos{B}+\sin{B}\cos{A}

Aplicando as propriedades das razões trigonométricas é possível, a partira da expressão para a soma no caso do seno, obter expressões para a soma e deferença tanto no caso do seno como nos casos do cosseno e da tangente. Dessa expressões ainda é possível deduzir com pouca dificuldade a fórmula fundamental da trigonometria.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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2 respostas a A lei dos senos e a dedução geométrica da fórmula de soma

  1. guihgo diz:

    mão entendi a quarta etapa: sinC = sinA*cosB + (b/a)cosA*sinA

    poderia me explicar porque sinC é isso ?? Ficaria muito grato. Estou cursando ensino médio, mas nas escolas só me mostram fórmulas que esqueço quando termina a aula.

    • Fiz uma revisão do texto que fora formatado para o agora extinto Windows Spaces. Aproveitei para explicitar o passo que te causou dúvidas. A dedução da fórmula da soma para o seno com base na lei dos senos segue as seguintes linhas de raciocínio:
      1) Resolver os triângulos para nos proporcionar o lado c como função dos lados a e b, bem como os cossenos dos ângulos A e B;
      2) Eliminar o parâmetro a da equação com base na lei dos senos que envolve os lados a e c;
      3) Eliminar o parâmetro b com o auxílio da lei dos senos que envolve os lados b e c;
      4) Observar que o ângulo C é dado por \pi-(A+B).

      Espero que esta pequena intervenção tenha deixado mais claro a dedução.

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