Avaliação de um outro integral

No final do artigo "A função gama", apresentei, para a respectiva função, uma fórmula de reflexão de Euler, que, simbolicamente, se escreve

considerando o caso em que x=1/n e atendendo à defininção da função gama, tem-se

reflex_formula_def

Fazendo a transformação de variável transf no segundo integral e, utilizando o teorema de Fubini, o produto dos integrais pode ser considerado como a iteração do integral duplo

eval_1

De novo, aplicando a transformação bidimensional ao integral duplo da forma

transf1

obtém-se

eval_2 .

Iterando o integral duplo, integrando relativamente a s, obtém-se o interessante resultado

eval.

Este integral é um caso particular de uma série de inegrais Inm da forma

eval_comment,

onde m=1, avaliado por Euler de enúmeras maneiras na sua memória "Considérations sur quelques formules intégrales dont les valeurs peuvent ètre exprimées en certain cas par la quadrature du cercle", cujo manuscrito pode ser encontrado na biblioteca nacional de Paris. O autor baseou uma das demonstrações deste resultado no cálculo directo do integral definido que, porventura, terá sido determinado com base na expansão em fracções parciais.

A demonstração que aqui apresento, parte da fórmula de reflexão para a qual uma demonstração deveras elegante (com base no teorema dos resíduos) pode ser encontrada no livro "Special Functions". O raciocínio inverso não passa de uma adaptação dum truque usado por Laplace no seu livro "Théorie Analitique des Probabilités" para obter uma forma recursiva para o cálculo de integrais do tipo

l_integral,

onde n e i são naturais. Este tipo de integrais são utilizados num método de aproximação para avaliar integrais de funções baseadas em factores pequenos elevados a grandes expoentes. Para a obtenção do valor de k(n), parte-se precisamente do valor de In neste texto, da forma inversa à aqui utilizada.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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