Algumas desigualdades

Sendo a e b dois quaisquer números positivos, calculem-se as médias aritmética e harmónica a’ e b’ respectivamente. Calcule-se de novo as médias aritmética e harmónica de a’ e b’. Já é do conhecimento geral que se se iterar o processo indefinidamente, obêm-se duas sucessões que convergem para a média aritmética do produto a e b. Assim sendo, estamos na presença de uma forma de calcular a raiz quadrada de t, fazendo a=t e b=1 nos números iniciais.

Aplicando o processo umas poucas vezes ao início, rapidamente se chega à conclusão que as sequências (a) e (b) são constituídas por quocientes entre polinómios. Podemos afirmar que (a)=p/q, onde p e q são polinómios. De facto, a iteração permite obter a fórmula

aprox_racional

para n iterações (aqui C representa coeficientes binomiais), onde o erro na iteração seguinte pode ser maximizado em função do erro cometido na iteração anterior como

erro_n.

A expressão que permite relacionar o erro cometido entre iterações, com maior rigor, é apenas um pouco mais extensa do que a apresentada.

Antes de fazer esta última estimativa, explorei outra alternativa que funcionava bem para valores pequenos de t, que podia variar entre 0 e aproximadamente 15. Essa alternativa baseava-se na aplicação à expressão mais exacta para o erro de umas desigualdades, as quais apresento aqui de seguida.

Começa-se com as identidades (se bem que a primeira identidade acaba reduzida a uma desigualdade):

indentidades_small

Quadrando ambos os termos da primeira expressão vem

desig_1_small

Daqui resulta que

desig_1_1

Aplicando o processo de forma indutiva, resulta na desigualdade

f_desig_1

Da mesma forma, partindo da segunda e da terceira identidades pode-se obter as desigualdades

f_desig_2

válida para n estritamente maior do que 1 e

desig_3_f

válida para n estritamente maior do que 2. Mostra-se a validade das duas desigualdades anteriores por indução, quadrando ambos os mebros e ignorando os termos intermédios (sempre positivos) do segundo membro.

Apesar de não ter aplicação para as desigualdades, decidi apresentá-las aqui para ter alguma coisa sobre a qual escrever.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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