Alguns problemas em teoria das probabilidades

O matemático Lagrange resolveu uma série de problemas em análise de erros, utilizando uma abordagem probabilística. Começou com o seguinte problema:

Vamos supor que, em cada medição de uma grandeza, pode haver um erro em uma unidade de medida, tanto por excesso como por defeito, mas que o número de casos que correspondem a medições exactas está para o número de casos que podem ter o erro de uma unidade como a/2b, queremos saber qual é a probabilidade de obtermos um resultado exacto tomando a média entre os resultados particulares de um número n de medições.

Este problema pode ser reduzido ao seguinte.

Com n dados, cada qual com a faces marcadas com 0, b faces marcadas com –1 e b faces marcadas com 1, perfazendo um total de a+2b faces, encontrar a probabilidade da soma ser nula aquando do lançamento aleatório de todos esses dados.

O autor resolveu este problema com o recurso ao conceito de funções geradoras e utilizou manipulação engenhosa de séries para obter relações de recorrência neste caso. No entanto, devido à sua simplicidade, é possível resolvê-lo por um processo de contagem bastante acessível.
Outro problema que se põe, consiste numa generalização a um leque mais variado de erros.

Suponhamos que qualquer medição está sujeita a erros com quaisquer magnitudes e se conhece o número de casos a_i para os quais cada erro com magnitude k_i possa ter lugar. Pretende-se determinar a correcção que é preciso fazer à média das medições.

A resolução deste problema por um processo de contagem torna-se deveras complicado. No entanto, o recurso ao conceito de função geradora permite resolvê-lo. A teoria das funções geradoras ainda pode ser extendida ao caso em que se está na presença de uma distribuição contínua para as probabilidades do erro.

Suponhamos que cada medição está sujeita a todos os erros possíveis compreendidos entre –p e q (que podem ser infinitos) com uma distribuição de probabilidade normal da forma

normal

Pretendemos saber qual é a distribuição de probabilidade para a variável aleatória z correspondente ao erro médio de n medições.

Usando a teoria das funções geradoras, pode-se chegar à conclusão de que a distribuição de probabilidades para a média das medições é da forma

normal1

Aqui coloquei um ficheiro que descreve os passos essenciais para a resolução dos problemas considerados.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
Esta entrada foi publicada em Sem categoria. ligação permanente.

Uma resposta a Alguns problemas em teoria das probabilidades

  1. Júlia diz:

    Ah, grande matemático… aqui não posso comentar grande coisa, só que te acho genial.

Deixe uma Resposta

Preencha os seus detalhes abaixo ou clique num ícone para iniciar sessão:

Logótipo da WordPress.com

Está a comentar usando a sua conta WordPress.com Terminar Sessão / Alterar )

Imagem do Twitter

Está a comentar usando a sua conta Twitter Terminar Sessão / Alterar )

Facebook photo

Está a comentar usando a sua conta Facebook Terminar Sessão / Alterar )

Google+ photo

Está a comentar usando a sua conta Google+ Terminar Sessão / Alterar )

Connecting to %s