Mais sobre a entropia

No artigo Máquinas térmicas e entropia, com o auxílio da ideia de equivalência entre máquinas térmicas, argumentei que o quociente Q/T, entre o calor extraído à temperatura T e o valor de T é igual a uma constane S à qual se desgina por entropia. A par da energia, esta grandeza ocupa um papel de relevo em termodinâmica já que qualquer sistema termodinâmcio evolui no sentido do aumento da entropia. Se o processo é reversível, a entropia mantém-se constante (a sua importência é mais de carácter cinético do que no estudo das situações de equilíbrio). Vamos ver uma forma de calcular o seu valor em algumas situações.

Gases perfeitos

Um gás perfeito ou gás ideal consiste num modelo para o qual as partículas são consideradas como sendo pontuais não interactuando entre si. A equação de estado do gás ideal resulta da combinação das leis:

  • Boyle-Mariotte: À mesma temperatura, o volume e a pressão são inversamente proporcionais;
  • Charles e Gay-Lussac: À pressão constante, o volume aumenta ou diminui proporcionalmente à temperatura;
  • Gay-Lussac: A razão entre os volumes combinados dos gases e os seus produtos (se gasosos) pode ser expressa por números inteiros pequenos.

Estas três leis podem ser combinadas para obter a equação de estado para um gás ideal: PV=nkT, sendo P a pressão, V o volume, T a temperatura e n o número de partículas. Como as partículas são consideradas pontuais e não interagem, a sua energia interna U varia de forma proporcional com a temperatura: U=nkαT.

Para o cálculo da entropia, vou considerar inicialmente que estamos na presença de uma expansão isotérmica (à temperatura constante). Neste caso, temos obviamente dU=0 de onde tiramos (uma vez que, a partir da primeira lei da termodinâmica vem dU=δQ-PdV) TdS=PdV. Da equação de estado vem P/T=nk/V. Deste modo dS=nk(dV/V)=nk d log(V). Assim a entropia tem a forma S=nk log(V)+f(T), em que f é uma função apenas da temperatura.

Para determinar a forma como a entropia varia com a temperatura, consideramos uma expansão adiabática reversível. Neste caso, não há trocas de calor com o meio exterior. Assim, da primeira lei resulta que nkα.dT=-PdV. Por outro lado, P=nkT/V. Substituindo na equação anterior obtemos a relação dT/T=-dV/(αV)=-(γ-1)dV/V, γ=(α+1)/α. Como no processo adiabático temos imediatamente dS=0, tiramos a relação df=1/(γ-1)dT/T. Assim, a entropia para um gás perfeito tem a forma

entropia_gas_ideal

A constante a depende do gás em questão e é designada por constante química.

Radiação

Se considerarmos um campo de radiação inserido num contentor fechado, este campo exerce pressão sobre o contentor. Se u representar a densidade de energia radiativa, essa pressão é precisamente P=u/3. Este resultado deduz-se com base no facto de que, à densidade de energia de um campo de radiação, está associada uma densidade de quantidade de momento proporcional à norma do vector de Poynting (vector que também permite indicar a direcção e sentido do fluxo de energia de uma onda electromagnética). Como a energia interna deste tipo de sistema é dada por E=uV, a aplicação da primeira lei da termodinâmica, que toma a forma dE=udV+vdu=TdS-PdV e a igualdade entre as derivadas parciais cruzadas de segunda ordem da entropia permitem deduzir a lei de Stefan-Boltzman, isto é

stef_boltz

Com um raciocínio análogo ao que foi feito na secção anterior podemos concluir que a entropia toma a forma

entropia_radiacao

Verificamos que a entropia é definida a menos de uma constante aditiva e está de acordo com a terceira lei da termodinâmica. Este facto deve-se a estarmos a considerar um tratamento não quântico ao campo de radiação.

Em física estatística, a entropia consiste numa grandeza proporcional ao logaritmo natural do número de microestados que contribuem, em média, para os fenómenos observados ao nível macroscópico. É esta a definição de entropia mais geral do ponto de vista não quântico.

Para mais pormenores, consultar os livros Feynman Lectures on Physics, cujo autor aparece no título e Física Atómica de Born (edição Fundação Caloust Gulbenkian) – versão em português.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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