Distância de um ponto a um espaço afim

O espaço afim associado a um espaço vectorial e que contém o ponto P é o conjunto de pontos que se obtém de P por intermédio de uma translação segundo um vector desse espaço vectorial. O ponto P, por si só, constitui um espaço afim associado ao espaço vectorial constituído pelo vector nulo.

Define-se a distância entre espaços afins como a menor distância tirada entre os pontos de cada espaço. No caso de um dos espaços afins ser um ponto, a distância desse ponto a outro espaço afim é a menor das distâncias desse ponto a cada um dos pontos do espaço.

Geometricamente, podemos considerar um conjunto de esferas centradas no ponto. A menor distância desse ponto a um espaço afim é dada pelo raio da esfera que intersecta esse espaço em apenas um ponto. Vectorialmente, podemos considerar um vector entre esse ponto e um ponto do espaço e retirar-lhe a projecção segundo o espaço vectorial. Neste caso, a distância é dada pela norma dessa diferença. Finalmente, podemos usar um método analítico para determinar o mínimo da função distância.

Decidi escrever algo sobre isso, o qual exponho no ficheiro Cálculo da distância de um ponto a uma recta e outros espaços afins. Aqui apresento uma forma fechada para a distância usando a teoria de determinantes. Deixo uma pista para resolver o problema do cálculo da distância entre dois espaços afins genéricos.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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