Umas ideias em simplificação de expressões

Em algumas áreas da matemática é frequente manipular expressões algébricas complicadas e enfadonhas. Por vezes, uma vez conhecido o método de resolução de um determinado problema é útil abreviar o tempo de cálculo com o auxílio de computadores.

Por exemplo, consideremos a equação da forma x11-1=0. Sabemos que a unidade é uma raíz e, com a transformação y=x+1/x, podemos reduzi-la a

Y5+Y4-4Y3-3Y2+3Y+1=0

Determina-se uma forma trigonométrica para a solução destas equações. Com base nessa solução é possível escrever algumas relações entre as respectivas raízes (veja-se, por exemplo Fermat Last Theorem) de acordo com um método devido a Vandermonde. Contudo, este método envolve a simplificação de resolventes, isto é, expressões algebricamente extensas.

Maple, “expression trees” e simplificação de polinómios

No sistema algébrico computacional Maple, os polinómios são representados como expression trees, isto é, árvores onde os nós correspondem a operadores e as folhas aos operandos. A árvore

expression tree_inverted

representa o polinómio

p=(x+y)z+3x2+2(xy)3

Em primeira aproximação, o polinómio corresponde ao operador soma com três operados, nomeadamente (x+y)z, 3x2 e 2(xy)3. Para aceder ao primeiro operando usamos op(1,p). O segundo e terceiro operandos são obtidos com op(2,p) e op(3,p), respectivamente. A instrução nops(p) retorna o número de operandos que é 3 neste caso. O comando op(1,op(1,p)) consiste no primeiro operando do operando de p, (x+y)z, o qual é x+y.

Algumas outras instruções permitem lidar com operadores e operandos. A análise da árvore torna-se útil na simplificação de expressões com base em regras pouco comuns. No google code coloquei uma função que permite simplificar polinómios de acordo com as regras usadas nas raízes da unidade a menos do sinal. Copiando este ficheiro para a directoria onde está o ficheiro maple, pode-se usar o conjunto de instruções

read(unity_roots_simplification_funcs);
vand_generate_simplification(p,[x,y,z]);

Esta função retorna o valor de p  depois de lhe serem aplicadas as regras de simplificação relativas à raíz da unidade de grau 7=2×3+1, onde 3 é o número de variáveis que aparece no argumento.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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Uma resposta a Umas ideias em simplificação de expressões

  1. Júlia diz:

    Aqui não comento, pois não saberia que dizer. Uma complicação, para mim.Abraço

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