Os números de Bernoulli e a fórmula de soma de Euler-Maclaurin

O problema da determinação da soma das primeiras n potências de ordem k levou Jacob Bernoulli a introduzir, no seu livro Ars Conjectandi, uma sequência de números com o seu nome. A fórmula da soma de Euler-Maclaurin consiste numa expansão em série da soma dos primeiros elementos de uma função qualquer suficientemente suave. De acordo com Wittaker e Watson no seu livro A course of modern analysis (página 127 da quarta edição), esta fórmula fora descoberta pelo matemático Leonhard Euler o qual não a publicara na altura. Este comunica a descoberta a Stirling que lhe responde sensivelmente dois anos mais tarde informando-o de que a sua descoberta incluiria um teorema seu (ver aproximação de De Moivre – Stirling) e que o escocês Maclaurin demonstrara uma versão mais geral, a qual é publicada no seu livro Treatise on fluxions. Uma demonstração desta expansão consiste em utilizar a fórmula de Darboux. No livro Calculus of finite differences é dado um tratamento detalhado deste tipo de números.

No que concerne à teoria dos números, é possível ler em A classical introduction to modern number theory um capítulo inteiramente dedicado a este tipo de sequências e a sua relação com a demonstração de Kummer do último teorema de Fermat quando são considerados expoentes primos regulares.

No texto Os números de Bernoulli e a fórmula de soma de Euler-Maclaurin exponho as ideias essenciais relacionadas com este tópico, incluindo a sua abordagem com base na ideia de funções geradoras.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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