Códigos de detecção de erros e o Bilhete de Identidade

A transmissão fidedigna de informação sempre teve um papel fulcral na comunicação entre duas entidades. O modelo mais simples em teoria da comunicação compreende quatro elementos. De acordo com este modelo, o emissor envia uma mensagem para o receptor por intermédio de um canal. Para a comunicação entre o emissor e o receptor ser bem sucedida é necessário que o receptor entenda a mensagem enviada pelo emissor. Para isto ser possível existe um acordo entre os intervenientes sobre a forma da mensagem, isto é, a necessidade de pré-convencionar uma linguagem. Mesmo após verificados estes requisitos, pode não ser garantida uma comunicação efectiva se a mensagem fôr corrompida durante a sua transmissão pelo canal de comunicação.

Muitos exemplos emergem ao nível doméstico no dia-a-dia onde se destaca a troca de informação na Internet. Sempre que se utiliza um chat ou se visualiza uma página web está-se na presença de uma acção típica de comunicação onde o canal é a respectiva rede. Uma mensagem enviada num canal é susceptível de ser inadvertidamente alterada durante o processo de envio. A título de exemplo considera-se a transmissão de dados digitais por intermédio de um satélite. A informação digital é modulada num transmissor algures na Terra, produzindo ondas electromagnéticas, as quais são desmoduladas pelo satélite. No entanto, devido a possíveis interferências no espaço, a informação digital pode sofrer alterações que, por muito ligeiras que sejam, são suficientes para a mensagem ser erradamente interpretada. Os códigos de detecção de erros consistem em métodos utilizados para avaliar a validade de uma mensagem.

O código de detecção de erros mais simples aplica-se numa mensagem binária digital e baseia-se na contagem dos bits. Imagine-se que se pretende enviar a mensagem binária 10011011. No final desta mensagem o emissor acrescenta um bit, o bit de paridade, que vale 1 caso o número de dígitos unitários seja ímpar e 0 caso contrário. Como o número de dígitos unitários desta mensagem é 5 (o número de dígitos nulos é 3), é acrescentado o bit unitário no final da mensagem ficando 100110111. Se se der a troca de um bit qualquer na mensagem, ficando por exemplo 11011011, o número de bits unitários passa a ser par, correspondendo ao código 0. Neste caso o receptor está em condições de assumir que ocorreu um erro qualquer na transmissão uma vez que recebeu o código 1. Assim, se definirmos a unidade de mensagem como o par ordenado (x1,x2,…,x8), onde os xi pertencem ao conjunto {0,1}. O código de detecção de erros C é o valor do conjunto {0,1} que satisfaz a condição

x1+x2+…+x8+C=0 (mod 2)

Para determinar o código C neste esquema, somam-se todos os dígitos, divide-se o resultado por dois e determina-se o resto R. Deste modo, o código C é o menor valor tal que C+R seja divisível por 2. A mensagem atrás apresentada é representada pelo par ordenado (1,0,0,1,1,0,1,1) cuja soma dos dígitos vale 5. O resto de 5 aquando da divisão por 2 é R=1. Então C=1 pois R+C=2 que é divisível por 2. Os códigos C calculados desta forma têm a designação genérica de somas de verificação.

Relação com o Bilhete de Identidade

É bastante divulgado o boato de que o algarismo que aparece imediatamente à direita do número de identificação no Bilhete de Identidade corresponde ao número de pessoas com o mesmo nome que o respectivo titular. Contudo, a crença é falsa. Esse algarismo não é mais senão um código de controlo de erros vulgarmente denominado por dígito de verificação de natureza semelhante ao bit de paridade. A definição do dígito de avaliação no caso do Bilhete de Identidade é idêntica ao utilizado pelos sistem de numeração de livros ISBN10 (International Standard Book Number com 10 dígitos – actualmente já são 13).

Cada número de identificação do BI é escrito com oito algarismos. Para baixos números, são acrescentados zeros à direita de modo a perfazer os algarismos prescritos. Cada número de identificação representa-se pelo par (x1,x2,…,x8), onde desta vez os xi pertencem ao conjunto {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Define-se o dígito de verificação C como sendo o menor número que satisfaz a equação

9x1+8x2+…+2x8+C=0 (mod 11)

Aqui a simbologia (mod 11) indica que se considera a equação no que concerne as restos da divisão por onze. Para não se correr o risco de acertar num número existente, considere-se no possível número de identificação 99375645. Calculamos

9x9+8x9+7x3+5x5+4x6+3x4+2x5=245

O resto da divisão de 245 por onze vale 3. Como 8+3=11, o dígito de avaliação será o 8. Existe uma forma rápida de determinar o resto da divisão de um número por 11. No caso do 245, faz-se 2-4+5=3 que corresponde ao resto da divisão de 245 por 11. Para obter o resto da divisão do número 235847 por 11 calcula-se 2-3+5-8+4-7=-7. Como resultou num número inferior a zero, o resto da divisão de 235847 por 11 é 11-7=4. É interessante calcular o dígito de verificação para o número de BI e comparar o resultado. A aplicação deste número está no campo da detecção dos erros de boa fé mais comuns entre os quais se contam a alteração de um algarismo ou a permuta entre dois algarismos. Este algarismo não permite verificar todos os erros possíveis uma vez que vários números possuem o mesmo código de erro.

Até uma criança da primária com os seus rudimentares conhecimentos aritméticos de divisão inteira pode observar que os restos podem tomar todos os valores inteiros menores que o divisor. Como são consideradas divisões por 11, os restos variam entre 0 e 10. Como dez é escrito com dois algarismos, ter-se-ia de criar um símbolo para ele, por exemplo X que representa o 10 em numeração romana. Provavelmente a utilização do X no BI de uma pequena percentagem da população foi tomado como acto discriminatório e decidiu-se subsituir o 10 por 0, entrando em conflito com os números que já apresentam o dígito de verificação nulo. Esta opção tornou um interessante processo de controlo de erros num pequeno algarismo inútil que começou a ocupar espaço no BI.

Ver também: O mistério do Bilhete de Identidade

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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