Um espaço vectorial particular

Aqui há tempos estava à procura de um exemplo de espaço vectorial que fugisse um pouco aos comuns conjuntos de vectores geométricos, polinómios, matrizes e aplicações lineares. Neste contexto, pretendia encontrar um espaço sobre o corpo dos números racionais. No decurso desta demanda encontrei um que me encheu as medidas. Decidi aqui descrevê-lo directamente.

Seja U={xn-a=0 tal que n é natural e a é racional positivo} um conjunto de equações polinomiais de grau n. Como a é positivo, de acordo com a regra de Descartes, sabemos que cada equação tem uma e uma só raíz real positiva. Sejam E,F∈U duas equações de U. Dizemos que E é equivalente a F, escrevendo E~F, se ambas as equações E e F possuem a mesma solução real positiva. Como a raíz real positiva é única, é imediato tratar-se de uma relação de equivalência. Definimos o conjunto V como sendo a classe de U relativa à equivalência apresentada, U~. Não é um exercício difícil mostrar que as equações xn-a=0 e xnp-ap=0 onde p é um inteiro estão na mesma classe de equivalência. Tomamos para representante de cada classe a equação xn-a=0 para a qual o valor de n é o menor possível e escrevemos [xn-a=0].

Sejam [xn-a=0] e [xm-b=0] dois elementos do conjunto V. Definimos a soma [xn-a=0]+[xm-b=0]=[xnm-ambn=0]. Para verificarmos que a soma está bem definida, supomos que [xn’-a’=0] e [xm’-b’=0] são outras representações da mesma classe de equivalênia de [xn-a=0] e [xm-b=0] respectivamente. Deste modo obtemos [xn’-a’=0]+[xm’-b’=0]=[xn’m’-a’m’b’n’=0]~[xnm-ambn=0]. Seja h=p/q um número racional. Define-se o produto h[xn-a=0]=[xnq-ap=0]. Recorrendo à representação em potência da solução também mostramos que se trata de uma operação bem definida.

Afirmo que o conjunto V forma um espaço vectorial com respeito às operações apresentadas atrás. Para verificarmos esta asserção é suficiente mostrar que são satisfeitos todos os axiomas afins a um espaço vectorial.

  1. Os axiomas de fecho relativos a cada uma das operações são automaticamente verificados, isto é, V é fechado relativamente à soma e ao produto por um racional.
  2. Associatividade: começamos por calcular a expressão ([xn-a=0]+[xm-b=0])+[xr-c=0]=[xnm-ambn=0]+[xr-c=0]=[xnmr-amrbnrcnm=0]. Por outro lado vem o resulado [xn-a=0]+([xm-b=0]+[xr-c=0])=[xn-a=0]+[xmr-brcm=0]=[xnmr-amrbnrcnm=0], donde concluímos a associatividade.
  3. Comutatividade: a soma é claramente comutativa.
  4. Existência do elemento neutro: a classe [x-1=0] é o elemento neutro da adição.
  5. Simétrico: para qualquer classe [xn-a=0] temos [xn-a=0]+[xn-1/a=0]=[xnn-1=0]~[x-1=0].
  6. Axioma de compatibilidade da multiplicação por um escalar: p/q(r/s[xn-a=0])=p/q[xns-ar=0]=[xnsq-arp=0]. Por outro lado (pr/(qs))[xn-a=0]=[xnsq-arp=0].
  7. O racional 1 é o elemento neutro no caso da multiplicação por um escalar.
  8. Distributividade escalar: (p/q+r/s)[xn-a=0]=[xnsq-aps+rq=0] e p/q[xn-a=0]+r/s[xn-a=0]=[xnq-ap=0]+[xns-ar=0]=[xnnsq-apns+rnq=0]~[xnsq-aps+rq=0].
  9. Distributividade relativamente à soma: p/q([xn-a=0]+[xm-b=0])=p/q[xnm-ambn=0]=[xnmq-ampbnp=0] e p/q[xn-a=0]+p/q[xm-b=0]=[xnq-ap=0]+[xqm-bp=0] que vale [xnmqq-amqpbnqp=0]~[xnmq-ampbnp=0].

De acordo com o teorema fundamental da aritmética, qualquer número é escrito de maneira única a menos da ordem como produto de factores primos. Então uma base do espaço considerado é B={[x-p=0], p é primo} tendo este dimensão infinita numerável uma vez que existe uma infinidade de números primos.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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