O gradiente de uma função

Suponhamos que estamos na presença de uma função real cuja variável é real f(x). Se esta função for diferenciável então f(a+x) é aproximadamente igual a f(a)+f'(a)x, para valores muito pequenos de x. No caso de funções reais de duas variáveis reais, f(a+x,b+y) é aproximadamente igual a f(a,b)+grad(f).(x,y), onde grad(f).(x,y) corresponde ao produto interno de dois vectores. Ao vector grad(f) dá-se a designação de gradiente. Para o caso de uma função f(x,y), cada uma das componentes do seu gradiente corresponde à derivada parcial segundo a variável correspondente. Este resultado é válido em coordenadas cartesianas rectangulares.

Aqui há tempos decidi perceber como se calculavam os gradientes em quaisquer sistema de coordenadas. Verifiquei que o busílis da questão residia na definição dos versores afins a cada um desses sistemas. Nos textos de cálculo, os versores são definidos como sendo os vectores de norma unitária normais às superfícies coordenadas. Com este facto em mente e um pouco de conhecimento em álgebra linear, não é difícil chegar a uma expressão para o gradiente de uma função em qualquer sistema de coordenadas.

No texto Gradiente de uma função apresento as ideias base na determinação do mais simples operador diferencial na teoria dos campos vectoriais. No cálculo desse operador, recorro frequentemente aos designados coeficientes métricos com extrema importância neste contexto. Apesar de omitir alguns cálculos técnicos, apresento o gradiente em alguns sistemas ortogonais de coordenadas, nomeadamente os sistemas de coordenadas polares, bipolares, cardioidais, elípticas, paraboloidais, hiperbólicas, logarítmicas, esféricas, cilíndricas, toroidais, etc.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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