Teoremas simples em Teoria dos Números

Nos meus tempos do secundário tive contacto com as ideias de diferenças e as séries telescópicas, as quais achava interessante de explorar ocasionalmente. Quando experimentamos este tipo de conceitos, é natural considerarmos polinómios. Como o operador diferença é linear, ainda somos levados a tentar determinar quais são as diferenças das potências. Ao fazermos as experiências com números, conluímos que as segundas diferenças dum quadrado são 2, as terceiras diferenças de um cubo são 6, aas quartas diferenças de uma quarta potência são 24. O padrão é claro, isto é, as diferenças de ordem n da potência de ordem n de um número qualquer x é sempre constante e igual a n!. Claro que se trata de um facto a demonstrar mas meio caminho já está andado. No entanto, este resultado resume-se a uma estranha fórmula para n!, com base numa expansão. Apesar de ser bizarra encontra uma aplicação na demonstração do teorema de Wallis com base no pequeno teorema de Fermat. No texto Teoremas simples em Teoria dos Números indico como é possível utilizar tal fórmula com este propósito. Refiro a demonstração do pequeno teorema de Fermat com base no teorema de Lagrange em teoria dos grupos, mas descuro alguns dos cuidados que é preciso ter nos argumentos.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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