Aproximação racional da raíz quadrada

Mostrou-se, pela primeira vez a irracionalidade da raiz quadrada de dois na antiguidade clássica. Tal prova está associada à escola de Pitágoras. De facto, se a considerarmos geometricamente, esta representa o comprimento da diagonal dum quadrado com lado unitário ou o lado de um quadrado cuja área é igual a um. Do ponto de vista aritmético, se um número multiplicado por ele próprio resulta em n, então dizemos que esse número é a raíz quadrada de n. Com base no teorema fundamental da aritmética, não é difícil concluir que se trata de um número irracional.

A raíz quadrada tem algumas propriedades bem definidas, uma das quais consiste na periodicidade da sua expansão em fracção contínua e é passível de ser expandida em série binomial com expoente igual a um meio. Apesar de se tratar de um número irracional, é possível obter uma aproximação, com o recurso a números racionais, com tanta precisão quanto desejarmos. Deixo um vídeo no qual é possível determinar uma aproximação racional de raízes quadradas. O processo que é aqui descrito baseia-se na iteração das médias aritmética e harmónica.

 

   

Coloquei no skydrive um pequeno texto a justificar tanto a convergência do método como a aproximação racional no final do vídeo. De facto, trata-se de um excerto duma análise que fiz aqui há uns tempos dos vários tipos de médias que é possível formar com os polinómios simétricos elementares, o qual não cheguei a concluir. Decidi colocar o excerto, uma vez que é possível obter boas aproximações racionais aplicáveis ao método de arquimedes numa versão um tanto mais moderna, para a obtenção de uma aproximação racional para o número pi. Um dos algoritmos profíquos no cálculo desta tão importante constante matemática recorre à média aritmética-geométrica.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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