Aproximação racional da raíz quadrada

Mostrou-se, pela primeira vez a irracionalidade da raiz quadrada de dois na antiguidade clássica. Tal prova está associada à escola de Pitágoras. De facto, se a considerarmos geometricamente, esta representa o comprimento da diagonal dum quadrado com lado unitário ou o lado de um quadrado cuja área é igual a um. Do ponto de vista aritmético, se um número multiplicado por ele próprio resulta em n, então dizemos que esse número é a raíz quadrada de n. Com base no teorema fundamental da aritmética, não é difícil concluir que se trata de um número irracional.

A raíz quadrada tem algumas propriedades bem definidas, uma das quais consiste na periodicidade da sua expansão em fracção contínua e é passível de ser expandida em série binomial com expoente igual a um meio. Apesar de se tratar de um número irracional, é possível obter uma aproximação, com o recurso a números racionais, com tanta precisão quanto desejarmos. Deixo um vídeo no qual é possível determinar uma aproximação racional de raízes quadradas. O processo que é aqui descrito baseia-se na iteração das médias aritmética e harmónica.

 

   

Coloquei no skydrive um pequeno texto a justificar tanto a convergência do método como a aproximação racional no final do vídeo. De facto, trata-se de um excerto duma análise que fiz aqui há uns tempos dos vários tipos de médias que é possível formar com os polinómios simétricos elementares, o qual não cheguei a concluir. Decidi colocar o excerto, uma vez que é possível obter boas aproximações racionais aplicáveis ao método de arquimedes numa versão um tanto mais moderna, para a obtenção de uma aproximação racional para o número pi. Um dos algoritmos profíquos no cálculo desta tão importante constante matemática recorre à média aritmética-geométrica.

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Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição. Actualmente, exerço a função de Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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3 respostas a Aproximação racional da raíz quadrada

  1. Pingback: Aproximação racional de raízes | Sérgio's space

  2. Alexandre Moreno Maia diz:

    Caro Professor Sérgio Marques, sou Alexandre Moreno Maia, brasileiro, estudante de Física da Universidade Vale do Acaraú, no interior do Ceará – Brasil. Eu gostaria de pedir-lhe para que me ensinasse o que é a expansão binomial, para que serve em Física, quando usar e como usar. Quando tento resolver questões de Eletricidade que envolvem a utilização da expansão binomial, eu não sei nem por onde começar. Por favor peço-lhe que me ajude.
    Respeitosamente,
    Alexandre Moreno Maia

    • A expansão binomial é o caso especial da expansão em série de potências de funções da forma x^\alpha. Assim,
      \left(x+1\right)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots
      Como qualquer série, a binomial serve para obter uma aproximação polinomial até um determinado grau da função potência. Por exemplo, o potencial eléctrico no ponto \vec{R} criado por uma carga em \vec{r} é dado por
      \frac{1}{4\pi\varepsilon_0R}\frac{q}{\sqrt{1+\frac{r\left(r-2R\cos(\theta)\right)}{R^2}}}
      onde \theta é o ângulo definido pelos vectores. Note-se que a expressão anterior pode ser vista como
      k\left(1+x\right)^{-\frac{1}{2}}
      onde
      x=\frac{r\left(r-2R\cos(\theta)\right)}{R^2}
      Se r for inferior à unidade, a série para o binómio é convergente e o seu valor pode ser determinado com o auxílio da série. Temos
      \left(1+x\right)^{-\frac{1}{2}}=1-\frac{x}{2}+\frac{3x^2}{8}+\cdots
      A substituição do valor de x pela sua expressão e reorganização dos termos nas potências de r conduz-nos à expansão multipolar.

      A série binomial não é a única a ter aplicações em física. Por exemplo, a equação diferencial que descreve o movimento do pêndulo gravítico simples é da forma

      \frac{d^2\theta}{dt^2}+g\sin(\theta)=0

      nas unidades em que o comprimento é unitário. Se integrarmos uma vez obtemos

      \frac{d\theta}{dt}=\sqrt{2E+2g\cos(\theta)}

      cuja solução é dada por uma função elíptica. Se o ângulo de oscilação for pequeno, podemos desenvolver a função trigonométrica

      \sin(\theta)=\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\cdots

      e considerar apenas o primeiro termo, já que os restantes serão desprezáveis. A equação do pêndulo fica da forma

      \frac{d^2\theta}{dt^2}+g\theta=0

      cuja solução se escreve com o auxílio de uma função trigonométrica simples.

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