Um teorema de Sophie Germain

Sophie Germain viveu entre os séculos XVIII e XIX. Tratou-se de uma mulher que dedicou a vida à física e matemática numa época ainda discriminatória do sexo feminino em algumas áreas de actividade, nomeadamente a científica. Esteve em contacto com grandes matemáticos como Lagrange, Legendre ou Gauss, sob o pseudónimo de M. Leblanc.

Dada a sua predilecção pela teoria dos números, levou a avante uma série de trabalhos relacionados com a disciplina, incluindo o famoso último teorema de Fermat. Segue-se um teorema que recebe o seu nome.

Teorema: Seja n um número primo ímpar. Se existir um número primo p auxiliar com as propriedades:

  • xn+yn+zn ≡ 0 mod p implica x ≡ 0 ou y ≡ 0 ou  z ≡ 0 mod p
  • xn≡ n mod p é impossível

então vale o caso I do teorema de Fermat para n, isto é, se nenhum dos x, y ou z for divisível por n então a equação xn+yn+zn=0 não possui soluções inteiras para além da nula.

Demonstração: A demonstração assenta numa expressão algébrica que pode ser obtida com o auxílio da regra de Ruffini. Começamos por observar que, como n é um número ímpar, o polinómio xn+yn possui a raiz x=-y. Deste modo, x+y é um factor desse polinómio. Se aplicarmos a regra supracitada, obtemos a identidade

xn+yn=(x+y)(xn-1xn-2y+xn-3y2xn-4y3+…+yn-1)

A equação xn+yn+zn=0 resolve-se em ordem a z como

(1)                     (-z)n=(x+y)(xn-1xn-2y+xn-3y2xn-4y3+…+yn-1)

Expressões semelhantes resultam da resolução da equação em ordem às duas outras variáveis. Também podemos assumir que x, y e z são primos entre si, dois a dois. De facto, se existir um factor comum a ambos, este pode ser posto em evidência e eliminado da equação.

Suponhamos que existe um número q que divide ambos os factores do lado direito de (1). Então, como q divide x+y, temos que x≡-y mod q. Substituímos esta congruência no segundo factor, atendendo ao facto de que este também é divisível por q, para concluirmos que nxn-1≡0 mod q. Daqui advém que n≡o ou x≡0 mod q. A primeira congruência é impossível uma vez que nq teria de dividir z, contrariamente ao facto de que consideramos as quantidades como números primos entre si dois a dois. A segunda congruência também é impossível porque q teria de dividir simultaneamente x e x+y, de onde concluímos que teria de dividir y, contradizendo o facto de x e y serem primos entre si.

Atendendo ao teorema fundamental da aritmética, no qual se mostra que qualquer número admite uma factorização única em números primos (ignorando a ordem), vemos que cada um dos factores de (1) é uma potência de ordem n. Como podemos trocar entre si as variáveis mantendo a essência do resultado, existem inteiros aα, bβ, cγ, tais que

y+z=an
yn-1-yn-2z+yn-2z2yn-2z3+…+zn-1n
x=-aα
z+x=bn
zn-1-zn-2x+…+xn-1n
y=-bβ
x+y=cn
xn-1+xn-2y+…+yn-1n
z=-cγ

Consideremos, agora, a aritmética módulo p, como nas condições do teorema. Como xn+yn+zn ≡ 0 mod p, a primeira condição em p permite mostrar que x, y ou z são congruentes a zero módulo p. Suponhamos que x é congruente a zero módulo p. Então 2x=bn+cn+(-a)n≡0 mod p e, pela primeira condição em p, segue-se que a, b ou c são congruentes a zero módulo p. Se b ou c fossem congruentes a zero módulo p, então ou tínhamos y=-bβ ou z=-cγ, congruentes a zero módulo p. Mas tal contradiz o facto de serem dois a dois primos entre si. Então a≡0 mod p. Mas isto implica que y≡-z mod pαn≡nyn-1≡nγn mod p. Como γ não pode ser congruente a zero módulo p, existe um inteiro g de modo que γg≡1 mod p, de onde vem (αg)n≡n mod p, o que contradiz a segunda hipótese em p. Este facto demonstra o teorema pelo método da redução ao absurdo.

Como exemplo, suponhamos que n=5. Se considerarmos p=11, vemos que a primeira condição do teorema é satisfeita, uma vez que, módulo 11, as quintas potências são congruentes a 0, 1 ou -1. Então, para x5+y5+z5≡0 mod p, uma das quantidades tem de ser divisível por 11. Note-se que, pelo pequeno teorema de Fermat, a décima potência de um número qualquer módulo 11 é sempre congruente a 1 se esse número não for divisível por 11.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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