Um resultado de Gauss

Num dos textos anteriores, indiquei um possível processo para obter o valor de um integral definido determinado por Euler. Tal avaliação envolve o conjunto de todas as raízes de ordem n de -1. De facto basei-me inteiramente na factorização do polinómio x^n+1.

Utilizaremos a factorização do polinómio x^n-1 para obter uma interessante identidade trigonométrica. Como já sabemos,

x^{n}-1=\left(x-1\right)\prod_{k=1}^{n-1}{\left(x-e^{i\frac{2k\pi }{n}}\right)}

Daqui resulta a igualdade, para todos os valores de x,

\frac{x^{n}-1}{x-1}=\prod_{k=1}^{n-1}{\left(x-e^{i\frac{2k\pi }{n}}\right)}

Como a função do lado direito desta igualdade é polinomial (e, por conseguinte, é uma função contínua), então existe o limite

\lim_{x\to1}{\frac{x^{n}-1}{x-1}}=\left.\frac{d}{dx}\left(x^{n}-1\right)\right|_{x=1}=n=\prod_{k=1}^{n-1}{\left(1-e^{i\frac{2k\pi }{n}}\right)}

Por outro lado, sabemos que é possível emparelhar os factores deste produto que são conjugados entre si. Com isto em mente, escrevemos a igualdade anterior como

n=\left\{\begin{matrix}\prod_{k=1}^{\frac{n-1}{2}}{\left[\left(1-e^{i\frac{2k\pi }{n}}\right)\left(1-e^{-i\frac{2k\pi }{n}}\right)\right]}, n impar\\2\prod_{k=1}^{\frac{n-2}{2}}{\left[\left(1-e^{i\frac{2k\pi }{n}}\right)\left(1-e^{-i\frac{2k\pi }{n}}\right)\right]}, n par\end{matrix}\right.

Por outro lado, facilmente verificamos que

\left(1-e^{i\theta}\right)\left(1-e^{-i\theta}\right)=1-\left(e^{i\theta}+e^{-i\theta}\right)+e^{i\theta}e^{-i\theta}=2\left(1-\cos\theta\right)

Da fórmula de duplicação do cosseno,

\cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=1-2\sin^2\theta

tiramos a identidade

1-\cos\theta=2\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)

Com esta miscelânea em mente, escrevemos o produto como

n=2^{n-1}\times\left\{\begin{matrix}\prod_{k=1}^{\frac{n-1}{2}}{\sin^2\left(\frac{k\pi }{n}\right)}, n impar\\ \prod_{k=1}^{\frac{n-2}{2}}{\sin^2\left(\frac{k\pi }{n}\right)}, n par\end{matrix}\right.

Como

\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)=\sin\left(\pi-\frac{k\pi}{n}\right)

e

\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1

então obtemos a  fórmula

n=2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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