Um método para resolver equações do segundo grau em números racionais – Parte II

Pretendemos resolver a equação do segundo grau x^2-Ay^2=Bz^2, onde todos os parâmetros e incógnitas envolvidos assumem valores inteiros.

Em primeiro lugar, podemos considerar que x, y e z são primos entre si. Caso contrário, dividimos ambos os membros da equação pelo respectivo máximo divisor comum. Em segundo, consideramos A e B não possuem quaisquer quadrados como divisores. Caso contrário, uma simples mudança de variável em y e z permite reduzir a equação a uma outra equivalente.

Suponhamos que pretendemos resolver a equação x^2-Ay^2=-Bz^2. Multiplicamo-la por A de modo a ficarmos com Bx^2-(AB)y^2=-(Bz)^2. Fazemos x'=Bz, z'=x e A'=AB para reduzirmos a equação à forma x'^2-A'y^2=Bz'^2, que tem a forma da equação precedente. Vamos, por ora, cingir-nos à resolução do caso particular A=1, isto é, à resolução da equação

x^2-y^2=Az^2

Ora, se A for um número par, então tanto x como y são números ímpares (uma vez que não podem ambos ser pares pois são primos entre si). Mas, por outro lado, temos (x+y)(x-y)=Az^2 e tanto x+y como x-y são pares. Deste modo, 4 divide Az^2 e, como A não possui qualquer factor quadrado, concluímos que z tem de ser par. Observamos a identidade

\left(\alpha m^2+\beta n^2\right)^2-\left(\alpha m^2-\beta n^2\right)^2=\alpha\beta\left(2mn\right)^2

Trata-se da identidade de Brahmagupta-Fibonacci. Se \alpha e \beta forem divisores de A, então construímos a solução da equação em estudo como

\left\lbrace\begin{matrix}x=\alpha m^2+\beta n^2\\y=\alpha m^2-\beta n^2\\z=2mn\end{matrix}\right.

Se A for par, então a solução apresentada está de acordo com o resultado. Caso A seja ímpar, ambos os divisores \alpha e \beta serão ímpares e, se tanto m como n forem ímpares, temos a solução

\left\lbrace\begin{matrix}x=\frac{\alpha m^2+\beta n^2}{2}\\y=\frac{\alpha m^2-\beta n^2}{2}\\z=mn\end{matrix}\right.

Para obtermos a solução geral, temos de considerar todas as formas (importando a ordem) em como se pode escrever o número A como um produto de dois factores \alpha e \beta. Os parâmetros m e n terão de ser primos entre si de modo a evitar soluções múltiplas.

Por exemplo, consideremos a equação x^2-y^2=15z^2. Se fizermos \alpha=3, \beta=5, m=5 e n=3, obtemos os valores para a solução: x=60, y=15 e z=15.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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