Um método para resolver equações do segundo grau em números racionais – Parte III

As soluções da equação x^2-y^2=Az^2 em números inteiros são geradas com base na identidade de Brahmagupta-Fibonacci. A resolução da equação mais geral, nomeadamente x^2-Ay^2=Bz^2 encontra um suporte na respectiva redução a uma equação mais simples.

Para termos uma ideia mais precisa do processo, consideremos o exemplo concreto da equação x^2-3y^2=13z^2. Em primeiro lugar, consideramos que as soluções são números primos entre si. Caso contrário, é sempre possível reduzir a equação a uma forma equivalente. Em segundo lugar, y e B são primos entre si, uma vez que, de outro modo, x teria de ser divisível pelo respectivo máximo divisor comum. Assim, vale a identidade de Bézout, isto é, existem dois inteiros a e b de modo que ay-bB=1. Se multiplicarmos a equação por x, vemos que existem dois inteiros n e y’ de modo que

x=ny-y'B

Substituímos x assim determinado na equação original, vindo

\left(\frac{n^2-A}{B}\right)y^2-2nyy'+By'^2=z^2

Vemos que, como B é primo com y, então a fracção

\frac{n^2-A}{B}

tem de ser um número inteiro. No nosso exemplo, temos A=3 e B=13. Pretendemos, então, descobrir um valor de n de modo que a fracção

\frac{n^2-3}{13}

seja um número inteiro, o qual designaremos por B’. Na realidade, pretendemos resolver a congruência n^2\equiv 3 mod 13. Ora, se n é tal que n^2\equiv 3 mod 13, então

\left(n-13k\right)^2=13^2k^2-2\times13kn+n^2\equiv 3

módulo 13, onde k é um inteiro qualquer. Concluímos que é suficiente experimentar valores entre -B/2 e B/2 que, no nosso caso, se resume a valores entre -6 e 6. Com um número muito reduzido de testes, determinamos a solução n=4. Substituímos na equação para ficarmos com

y^2-8yy'+13y'^2=z^2

Multiplicamos ambos os membros por B’, isto é, por 1 e construímos o caso notável em y, vindo

\left(y-4y'\right)^2-3y'^2=z^2

Se considerarmos x'=y-4y', reduzimos a equação à forma

x'^2-3y'^2=z^2

Esta equação é equivalente a uma cuja solução podemos determinar directamente,

x'^2-z^2=3y'^2

Utilizando o resultado dum texto anterior, vemos que uma solução desta equação é x'=2, z=1 e y'=1. Daqui vem a solução para a equação pretendida, z=1, y=x'+4y'=6 e x=4y-13y'=11.

Resta fazer notar que a transformação considerada resulta sempre numa equação cujos coeficientes são menores que os iniciais uma vez que n pode ser escolhido como sendo inferior a B/2. O procedimento inverso permite determinar as soluções da equação inicial.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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