Um problema sobre círculos tangentes

Consideremos dois círculos tangentes de raios r_1 e r_2 centrados nos pontos A e B de coordenadas \left(a_1,a_2\right) e \left(b_1,b_2\right). Como assumimos que os círculos são tangentes, a distância entre os seus centros terá de igualar a soma dos raios, isto é,

\sqrt{\left(a_1-b_1\right)^2+\left(a_2-b_2\right)^2}=r_1+r_2

Consideremos o conjunto de todos os círculos tangentes aos dois círculos dados, de modo que estes apenas se intersectem no ponto de tangência, isto é, todos os círculos tangentes aos círculos dados desde que não se verifiquem sobreposições das suas áreas. Formulamos o seguinte problema:

Determinar o lugar geométrico dos pontos que podem ser o centro de algum círculo tangente a outros dois (tangentes entre si), de modo que a sua área não se sobreponha a nenhum deles.

Seja r_3 e C de coordenadas \left(c_1,c_2\right) o raio e o centro desse círculo. Como este círculo é tangente aos círculos de centro em A e centro em B e as suas áreas não se sobrepõem, então terão de ser verificadas as restrições:

d_1=r_3+r_1\\ d_2=r_3+r_2

onde d_1 e d_2 são respectivamente as distâncias de A a C e de B a C. Se subtrairmos a segunda equação da primeira, obtemos

d_1-d_2=r_1-r_2

Ora, tanto d_1 como d_2 representam as distâncias do ponto C que pertence ao lugar geométrico que pretendemos determinar a dois pontos fixos, A e B. Sabemos que esse lugar geométrico é uma hipérbole de modo a satisfazer a equação anterior.

Vamos determinar a equação dessa hipérbole. Para o efeito, aplicamos uma rotação e uma translação do referencial de modo que a origem se situe no ponto intermédio entre A e B e aponte no sentido do centro do círculo com maior raio para o círculo com menor raio. Sem perda de generalidade, consideramos que o círculo de maior raio tenha centro em A.

A partir da figura concluímos que o ponto A se encontra na abcissa -\frac{r_1+r_2}{2}, ao passo que o ponto B se encontra na abcissa \frac{r_1+r_2}{2}, os quais correspondem aos focos da hipérbole. Resta determinar os vértices V_1 e V_2. Seja V_1 o vértice mais próximo do ponto B. Então, vem

v_1+\frac{r_1+r_2}{2}-\left(\frac{r_1+r_2}{2}-v_1\right)=r_1-r_2

onde v_1 corresponde à abcissa do ponto V_1. Deste modo, temos

v_1=\frac{r_1-r_2}{2}=\frac{r_1+r_2}{2}-r_2

Vemos facilmente que um dos vértices da hipérbole se encontra no ponto de tangência dos dois círculos iniciais. O outro vértice é o simétrico relativamente ao eixo das ordenadas.

Relativamente à hipérbole, sabemos o parâmetro a, restando-nos o parâmetro b para podermos escrever a sua equação. Da teoria das cónicas sabemos que

a^2+b^2=f^2

onde f corresponde à distância focal. Então,

b^2=\left(\frac{r_1+r_2}{2}\right)^2-\left(\frac{r_1-r_2}{2}\right)^2=r_1r_2

A equação da hipérbole fica imediatamente

\frac{4}{\left(r_1-r_2\right)^2}x^2-\frac{y^2}{r_1r_2}=1

Se escolhermos um ponto C da hipérbole, como determinar o valor do raio do círculo que vai ser tangente aos dois círculos iniciais? O problema é deveras simples. De facto, sejam \left(\alpha,\beta\right) as coordenadas do centro, as quais satisfazem a equação anterior. Como sabemos que o círculo considerado será tangente aos dois círculos previamente fixados, temos obrigatoriamente

\left(\alpha+\alpha_1\right)^2+\beta^2=\left(r+r_1\right)^2\\ \left(\alpha-\alpha_1\right)^2+\beta^2=\left(r+r_2\right)^2

Aqui fizemos

\alpha_1=\frac{r_1+r_2}{2}

e r representa o raio do círculo considerado. Subtraímos cada uma das equações e resolvemos em ordem a \alpha para ficarmos com

\alpha=\left(r_1-r_2\right)\frac{r+\alpha_1}{r_1+r_2}

É pertinente fazer aqui um comentário. Se resolvermos esta equação em ordem a r, obtemos

r=\frac{r_1+r_2}{r_1-r_2}\alpha-\frac{r_1+r_2}{2}

Ora, se r_1>r_2 e \alpha<0, então temos r<0, uma vez que r_1 e r_2 são quantidades não negativas. Além disso, se r_1=r_2, isto é, os dois círculos iniciais são iguais, o lugar geométrico do centro do círculo que lhes é tangente corresponde ao eixo das ordenadas no referencial que estamos a considerar.

Substituímos \alpha na equação da hipérbole e resolvemos em ordem a \beta, vindo

\beta=\pm\frac{2\sqrt{r_1r_2}}{r_1+r_2}\sqrt{r\left(r+r_1+r_2\right)}

Note-se que não é necessário considerar que os dois círculos iniciais são tangentes entre si. De facto, o procedimento apresentado é válido para o caso mais geral.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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