A identidade de Binet-Cauchy

Suponhamos que nos encontramos na presença de dois vectores em \mathbb{R}^4,

\vec{u}=\left(u_1, u_2, u_3, u_4\right)\\ \vec{v}=\left(v_1, v_2, v_3, v_4\right)

Definimos o vector em \mathbb{R}^6 seguinte:

\vec{u}\wedge\vec{v}=\left(\left| \begin{matrix}u_1 & u_2\\ v_1 & v_2\end{matrix}\right|,\left| \begin{matrix}u_1 & u_3\\ v_1 & v_3\end{matrix}\right|,\left| \begin{matrix}u_1 & u_3\\ v_1 & v_3  \end{matrix}\right|,  \left| \begin{matrix}  u_1 & u_4\\ v_1 & v_4  \end{matrix}\right|,  \left| \begin{matrix}  u_2 & u_3\\ v_2 & v_3  \end{matrix}\right|,  \left| \begin{matrix}  u_2 & u_4\\ v_2 & v_4  \end{matrix}\right|,  \left| \begin{matrix}  u_3 & u_4\\ v_3 & v_4  \end{matrix}\right|  \right)

Verificamos que se trata de uma espécie de operação aplicada a dois vectores. Para percebermos como funciona, escrevemos cada um dos vectores como combinação linear dos versores \vec{e}_i, isto é,

\vec{u}=u_1\vec{e}_1+u_2\vec{e}_2+u_3\vec{e}_3+u_4\vec{e}_4\\ \vec{v}=v_1\vec{e}_1+v_2\vec{e}_2+v_3\vec{e}_3+v_4\vec{e}_4

Definimos os versores linearmente independentes \vec{e}_i\wedge\vec{e}_j onde i < j. A nossa operação \wedge é multilinear e satisfaz \vec{e}_i\wedge\vec{e}_j=-\vec{e}_j\wedge\vec{e}_i e \vec{e}_i\wedge\vec{e}_i = 0. Por exemplo,

\left(u_1\vec{e}_1+u_2\vec{e}_2\right)\wedge \left(v_1\vec{e}_1+v_2\vec{e}_2\right)=\\ u_1v_1\vec{e}_1\wedge \vec{e}_1+ u_1v_2\vec{e}_1\wedge \vec{e}_2+ u_2v_1\vec{e}_2\wedge \vec{e}_1+ u_2v_2\vec{e}_2\wedge \vec{e}_2=\\ u_1v_2\vec{e}_1\wedge \vec{e}_2+ u_2v_1\vec{e}_2\wedge \vec{e}_1=\left(u_1v_2-u_2v_1\right)\vec{e}_1\wedge \vec{e}_2

A esta operação entre dois vectores damos a designação de produto externo.

Definimos outros dois vectores, por exemplo,

\vec{w}=\left(w_1, w_2, w_3, w_4\right)\\ \vec{t}=\left(t_1, t_2, t_3, t_4\right)

e consideramos o seu produto externo \vec{w}\wedge\vec{t}. Com um pouco de esforço algébrico verificamos que

\left(\vec{u}\wedge\vec{v}\right)\cdot\left(\vec{w}\wedge\vec{t}\right)=\left|  \begin{matrix}  \vec{u}\cdot\vec{w} & \vec{u}\cdot\vec{t}\\  \vec{v}\cdot\vec{w} & \vec{v}\cdot\vec{t}  \end{matrix}  \right|

onde o ponto representa o produto escalar usual ou, por outras palavras,

\left(\vec{u}\wedge\vec{v}\right)\cdot\left(\vec{w}\wedge\vec{t}\right)=\sum_{i<j}^4 \left|  \begin{matrix}  u_i & u_j\\  v_i & v_j  \end{matrix}  \right|\left|  \begin{matrix}  w_i & w_j\\  t_i & t_j  \end{matrix}  \right|

Apesar de aqui ser exposto um resultado para quatro dimensões, tal identidade é válida para um número arbitrário delas. Esta é conhecida como identidade de Binet-Cauchy. Antes de passarmos à prova, vamos estudar os casos mais gerais. Vamos supor que estamos na presença de m vectores da forma

\vec{u}_i=\sum_{j=1}^n u_{ij}\vec{e}_j

Com base nas propriedades que apresentámos para o produto externo, consideramos o vector

\vec{u}_{1}\wedge\vec{u}_{2}\wedge\cdots\wedge\vec{u}_{m}=\sum_{1=i_1<i_2<\cdots<i_m}^n{\left|  \begin{matrix}  u_{1i_1} & u_{1i_2} & \cdots & u_{1i_m}\\  u_{2i_1} & u_{2i_2} & \cdots & u_{2i_m}\\  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\  u_{mi_1} & u_{mi_2} & \cdots & u_{mi_m}\\  \end{matrix}  \right|}

Então, se considerarmos o produto externo dos m vectores da forma

\vec{v}_i=\sum_{j=1}^n{v_{ij}\vec{e}_j}

mostramos que é válida a identidade

\left(\vec{u}_{1}\wedge\vec{u}_{2}\wedge\cdots\wedge\vec{u}_{m}\right)\cdot\left(\vec{v}_{1}\wedge\vec{v}_{2}\wedge\cdots\wedge\vec{v}_{m}\right)=  \left|  \begin{matrix}  \vec{u}_1\cdot\vec{v}_1 & \vec{u}_1\cdot\vec{v}_2 & \cdots & \vec{u}_1\cdot\vec{v}_m\\  \vec{u}_2\cdot\vec{v}_1 & \vec{u}_2\cdot\vec{v}_2 & \cdots & \vec{u}_2\cdot\vec{v}_m\\  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\  \vec{u}_m\cdot\vec{v}_1 & \vec{u}_m\cdot\vec{v}_2 & \cdots & \vec{u}_m\cdot\vec{v}_m  \end{matrix}  \right|

Em primeiro lugar, construímos as matrizes A e B do tipo m\times n, cuja i-ésima linha corresponde às entradas dos vectores \vec{u}_i e \vec{v}_i respectivamente, isto é,

A=\left\lbrack  \begin{matrix}  u_{11} & u_{12} & \cdots & u_{1n}\\  u_{21} & u_{22} & \cdots & u_{2n}\\  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\  u_{m1} & u_{m2} & \cdots & u_{mn}  \end{matrix}  \right\rbrack

e

B=\left\lbrack  \begin{matrix}  v_{11} & v_{12} & \cdots & v_{1n}\\  v_{21} & v_{22} & \cdots & v_{2n}\\  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\  v_{m1} & v_{m2} & \cdots & v_{mn}  \end{matrix}  \right\rbrack

Em segundo lugar, com base no produto de matrizes observamos que

\left\lbrack\begin{matrix}  \vec{u}_1\cdot\vec{v}_1 & \vec{u}_1\cdot\vec{v}_2 & \cdots & \vec{u}_1\cdot\vec{v}_m\\  \vec{u}_2\cdot\vec{v}_1 & \vec{u}_2\cdot\vec{v}_2 & \cdots & \vec{u}_2\cdot\vec{v}_m\\  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\  \vec{u}_m\cdot\vec{v}_1 & \vec{u}_m\cdot\vec{v}_2 & \cdots & \vec{u}_m\cdot\vec{v}_m  \end{matrix}\right\rbrack=AB^T

Designamos por I a matriz identidade (quadrada) de qualquer ordem. Formamos o produto das matrizes em bloco,

\left\lbrack  \begin{matrix}  I & A\\  0 & I  \end{matrix}\right\rbrack\left\lbrack  \begin{matrix}  A & 0\\  -I & B^T  \end{matrix}\right\rbrack=\left\lbrack  \begin{matrix}  0 & AB^T\\  -I & B^T  \end{matrix}  \right\rbrack

Ora, se multiplicarmos qualquer matriz M pela matriz diagonal

\left\lbrack\begin{matrix}  I & A\\  0 & I  \end{matrix}\right\rbrack

tal corresponde a substituir cada linha de M por esta mais uma combinação linear das outras linhas. Deste modo, temos

\left|  \begin{matrix}  A & 0\\  -I & B^T  \end{matrix}\right|=\left|  \begin{matrix}  0 & AB^T\\  -I & B^T  \end{matrix}  \right|

Vamos tentar calcular o determinanate de cada matriz com base na expansão de Laplace por m colunas (ver como fazê-lo na parte final deste vídeo). Começamos com a matriz que se situa do lado direito da igualdade. Vemos que o bloco AB^T cobre as colunas n+1, n+2, \cdots, n+m e as linhas 1, 2, \cdots, m. Com base no método da expansão é fácil verificar que este determinante apenas irá conter uma parcela não nula, nomeadamente (-1)^{mn}\left|AB^T\right|\left|-I\right|=(-1)^{mn+n}\left|AB^T\right|.

Quanto ao determinante da outra matriz, a situação complica-se ligeiramente. De facto, vamos fazer a expansão pelas primeiras m linhas. Se m>n, o determinante é claramente nulo. Se m=n, vemos que o determinante procurado vale |A||B|.

Suponhamos que m<n. Então, se taparmos colunas que pertençam ao conjunto das últimas m, obtemos termos nulos, uma vez que o determinante das intersecções é zero. Assim, escolhemos m colunas entre as primeiras n, digamos j_1, j_2, \cdots, j_m. A matriz que resulta da intersecção das linhas e colunas pelas quais estamos a expandir será A(J) que corresponde à submatriz de A da qual apenas consideramos as colunas pertencentes ao conjunto J=\left\lbrace j_1,j_2,\cdots,j_m\right\rbrace. O respectivo sinal é dado pela soma das linhas e das colunas, isto é,

1+2+\cdots+m+j_1+j_2+\cdots+j_m

O factor correspondente (constituído pelas colunas de B^T anexas a n-m colunas correspondentes a -I) à matriz dos elementos exteriores pode ser expandido do mesmo modo, mas desta vez pelas últimas m colunas. Apenas um termo irá sobreviver, o que corresponder ao simétrico da matriz identidade. A menos do sinal, este termos será dado por |-I||B(J)|. É fácil verificar que o sinal vem dado por

n-m+1+n-m+2+\cdots+n-m+m+j_1+j_2+\cdots+j_m=\\ m-n+1+2+\cdots+j_1+j_2+\cdots+j_m

Então o termo correspondente será da forma (-1)^{m(n-m)}|A(J)||B(J)||-I| e este vale (-1)^{mn+n}|A(J)||B(J)| pois |-I|=(-1)^{n-m}. Se observarmos com atenção, o argumento sobre os sinais não depende do conjunto J das m  colunas escolhidas entre as n primeiras. Deste modo, mostrámos o resultado atrás estabelecido.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
Esta entrada foi publicada em Matemática. ligação permanente.

2 respostas a A identidade de Binet-Cauchy

  1. mmuek diz:

    Mais 1 tema que n percebi.
    Continua😉

  2. Pingback: O método dos mínimos quadrados | Sérgio's space

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