O pequeno teorema de Femat – uma generalização

No texto O pequeno teorema de Fermat verificamos que se a for um número inteiro não nulo e p um número primo, então a^p\equiv a módulo p, isto é, o resto da divisão de a^p por p é igual ao resto da divisão de a por p.

A demonstração devida a Lagrange assenta no facto do conjunto de todos os valores diferentes do conjunto A com elementos a^n módulo p, n\in \mathbb{N} consistir num grupo com p-1 elementos. Com base nesta ideia é possível mostrar que se a^k\equiv 1 módulo p então k divide p-1. No texto subsequente mostra-se (demonstração de Gauss) que existe um elemento b no conjunto A tal que b^k módulo p, k\in\mathbb{N} gera todo o conjunto A.

Seja p(x) um polinómio de grau n com coeficientes inteiros irredutível em \mathbb{N} módulo p, isto é, um polinómio tal que não existem funções polinomais a(x), b(x) e c(x) de tal modo que a(x)b(x)= p(x) + pc(x) para valores de x que sejam raízes de polinómios de menor grau. Por exemplo, o polinómio p(x)=x^2-2 é irredutível uma vez que as suas raízes são \sqrt{2} e -\sqrt{2}, as quais não podem ser raízes de polinómios do primeiro grau.

Introduzimos uma unidade incomensurável i que é raiz da congruência p(x)\equiv 0 e suponhamos que

p(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0

Deste modo, temos

i^n\equiv -a_{n-1}i^{n-1}-a_{2}i^{n-2}-\cdots-a_0

Concluímos assim que as potências da raiz imaginária i^n, i^{n+1}, …, se podem escrever como combinação linear das potências 1, i, i^2, … e definimos o conjunto

B=\left\lbrace b_0+b_1i+\cdots+b_ni^n (mod\ p),\ b_0, b_1,\cdots,b_n\in\mathbb{N}\right\rbrace

onde os b_i não podem ser todos nulos.

Observamos que, como estamos a considerar todas as quantidade módulo p, os b_i admitem sempre uma representação entre 0 e p-1. Se ignorarmos a expressão na qual todos os b_i são iguais a zero, vemos que existem ao todo p^n-1 expressões diferentes.

Para fixação das ideias, consideremos o polinómio p(x)=x^3-2 que é irredutível. Seja i uma raiz da congruência p(x)\equiv 0 módulo um primo p. Fazemos, por exemplo, p=3. Os elementos de B para este caso são

\begin{matrix} 1 & 2 & i\\  1+i & 2+i & 2i\\  2+i & 2+2i & i^2\\  1+i^2 & 2+i^2 & i+i^2\\  1+i+i^2 & 2+i+i^2 & 2i+i^2\\  1+2i+i^2 & 2+2i+i^2 & 2i^2\\  1+2i^2 & 2+2i^2 & i+2i^2\\  1+i+2i^2 & 2+i+2i^2 & 2i+2i^2\\  1+2i+2i^2 & 2+2i+2i^2\end{matrix}

e totalizam 3^3-1, isto é, p^n-1 elementos. Este conjunto forma um grupo no que concerne à multiplicação módulo 3. Para nos convencermos disso atentemos no seguinte exemplo:

\left(1+i^2\right)(2i^2)=2i^2+2i^4

mas como i^3=2, vem i^4=2i donde

\left(1+i^2\right)(2i^2)=2i^2+4i\equiv i+2i^2

uma vez que 4\equiv 1 módulo 3. Resta-nos mostrar que o inverso de qualquer elemento do conjunto B está em B. De facto, tal resultado deriva directamente da identidade de Baché-Bezout.

Em primeiro lugar, observamos que o conjunto A=\left\lbrace 0,1,2\right\rbrace forma um grupo multiplicativo módulo 3. Todas as propriedades de grupo são fáceis de verificar com excepção da existência de inversa. Seja então a\in A. Como 3 é um número primo, sabemos, da identidade supracitada que existem inteiros u e v menores que 3 de modo que

au-3v=1

Esta indentidade resulta na congruência au\equiv 1 módulo 3. Facilmente constatamos que A é de facto um corpo.

Em segundo lugar, observamos que todos os elementos do conjunto B são da forma b_0+b_1x+b_2x^2 e também x^3-2=0, se x=i. Observamos ainda que os b_i estão no conjunto A. Deste modo, é possível aplicar o algoritmo da divisão vulgar a ambos os polinómios. Por outro lado, como x^3-2 é irredutível então não partilha nenhuma raiz inteira com outro polinómio de grau inferior. Deste modo, o seu máximo divisor comum é igual a uma constante e a aplicação do algoritmo de Euclides estendido permite escrever

\left(x^3-2\right)a(x)-\left(b_0+b_1x+b_2x^2\right)b(x)\equiv 1

onde a(x) e b(x) são polinómios de grau inferior a 3. Se fizermos x=i na indentidade anterior e atentarmos ao facto de que i^3-2=0, vemos que

\left(b_0+b_1i+b_2i^2\right)b(i)\equiv 1

isto é, b(i) está no conjunto B e é a inversa de b_0+b_1i+b_2i^2.

Seja \alpha\in B. Os mesmos passos da demonstração do pequeno teorema de Fermat servem para mostrar que se

\alpha^k\equiv 1 (mod\ 3)

então k é um divisor de 3^3-1, isto é, é um divisor da ordem do grupo. Os passos que seguimos para chegar a este resultado são independentes do grau e do número primo escolhido para realizar a aritmética modular. Observamos ainda que o argumento de Gauss continua a ser válido para mostrar que existe um \alpha\in B tal que \alpha^k, k inteiro, gera a totalidade do conjunto B.

Os conjuntos do tipo de B, munidos de adição e multiplicação modulares formam aquilo que é vulgarmente designado por corpos finitos de Galois.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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4 respostas a O pequeno teorema de Femat – uma generalização

  1. serolmar diz:

    Humm… fui infeliz na escolha do polinómio irredutível. De facto, módulo 3, tem-se x^3-2=\left(x^2-x+1 \right)(x+1)-3. Deste modo, módulo 3, o polinómio em questão deixa de ser irredutível e a combinação 1+i deixa cessa de ter inversa o algoritmo de Euclides estendido irá falhar nesse sentido. Contudo, se nos recorrermos de outros módulos, como 5 ou 7, suponho que o polinómio advenha irredutível.

  2. len diz:

    Sergio, você sabe como o equeno Teorema de Fermat foi provado e generalizado ao longo da História da Matemática ???? E quantas vezes esse resultado ocorreu ????????????

    Desde já grato pelo retorno …

    • serolmar diz:

      Aquilo que apresentei neste texto não o posso considerar como uma verdadeira generalização uma vez que, como no caso do teorema de Fermat, resulta da aplicação do teorema de Lagrange a um grupo ligeiramente diferente (grupo associado a um corpo de Galois – que é o que de facto me interessa).
      A primeira demonstração e generalização foram providas por Euler tratando-se de teoremas basilares em teoria dos números. Assim, seria aconselhável a consulta de bibliografia especializada na história desta disciplina.
      Dá, por exemplo, uma leitura nesta tese:

      http://www.math.wfu.edu/publications/Student/Caroline%20LaRoche%20Turnage%20-%20Thesis.pdf

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