Do método de Newton às séries de Puiseux

O famoso método de Newton usado na aproximação numérica da solução de equações foi desenvolvido por este de uma forma ligeiramente diferente à utilizada actualmente e com vista à resolução de equações polinomiais. De facto, o método actual deve-se a Raphson. Vejamos um pequeno exemplo, extraído do artigo Newton’s Method for Resolving Affected Equations. Tentamos resolver a equação

x^3-2x+5=0

da qual sabemos que, aplicando o teorema de Bolzano ao intervalo \left\lbrack 2,3\right\rbrack, possui aí pelo menos uma raiz. Consideramos, como primeira aproximação, a solução x=2 e vamos perturbá-la fazendo x=2+p onde p terá um valor pequeno. Se fizermos a substituição na equação inicial obtemos

(2+p)^3-2(2+p)-5=0

cuja expansão do primeiro membro resulta em

p^3+6p^2+10p+1=0

Como o valor de p deve ser pequeno, ignoramos todos os termos cuja ordem seja superior a p. Ficamos com a equação linear 10p-1=0 cuja solução é p=1/10. Obtivemos a aproximação x=2+1/10 para a solução da nossa equação. Fazemos, agora, p=1/10+q e substituímos na equação subsidiária em p para ficarmos com

q^3+\frac{63}{10}q^2+\frac{1123}{100}q+\frac{61}{1000}=0

Ignoramos os termos de ordem mais elevada em q, ficamos com a equação

\frac{1123}{100}q+\frac{61}{1000}=0

advindo a aproximação q=-61/11230 e, consequentemente, fazendo q=-61/11230+r na equação subsidiária para concluirmos que x=2+1/10-61/11230+r e r satisfaz a equação

r^3+\frac{35283}{5615}q^2+\frac{351906913}{31528225}q+\frac{32878756}{177030983375}=0

Observamos que se continuarmos as operações apresentadas indefinidamente obtemos uma série para a solução, onde o resto é solução de uma equação subsidiária. Apesar do método apresentado proporcionar identidades algébricas válidas, as séries por vezes podem não convergir.

Generalização a duas variáveis

Começamos com a curva definida pela equação algébrica

ay^3-x^3y-ax^3=0

em ordem a y. Verificamos que o ponto (0,0) se encontra na curva definida pela equação e pretendemos determinar os pontos da forma (x,y(x)) numa vizinhança da origem. Podemos começar por supor que x adquire um valor deveras pequeno e ignoramos todos os termos de ordem superior. Contudo, neste caso, não conhecemos a ordem de grandeza de y. Vejamos como podemos envidar um método conveniente para comparar as ordens de grandeza dos vários monómios que constituem a equação algébrica.

Dizemos que dois monómios x^ay^b e x^cy^d são da mesma ordem de grandeza se

\lim_{x\to 0}\frac{x^ay^b}{x^cy^d}=c

onde c é uma constante e escrevemos x^ay^b\sim x^cy^d. Se supusermos que x^3\sim y^3 então y\sim 1, isto é, y será aproximadamente constante numa vizinhança pequena da origem.

Foram desenvolvidos dois métodos gráficos para comparar a ordem de grandeza de monómios. Um, devido a Newton, recebe a designação de paralelogramo analítico e o outro, devido a Gua, trata-se do triângulo analítico. Centrar-nos-emos no paralelogramo analítico. Neste caso, dispomos os monómios numa grelha de modo que o ponto (a,b) corresponda ao monómio x^ay^b. Por exemplo, na grelha da figura

Grelha de monómiosAssim, o ponto A representa o monómio y, o ponto B representa x^3y^2, o ponto C representa x^6y^3, o ponto D representa x^5y^4 e o ponto E representa x^5y^2. Se considerarmos que y\sim x^3y^2, vemos que y\sim x^{-3} e o monómio x^6y^3 será da mesma grandeza que x^5x^{-9}=x^{-3}. Vemos que os monómios cujos pontos se encontram na recta AB são da mesma ordem de gradeza se A e B forem considerados da mesma ordem de grandeza. Os pontos acima da recta são de ordens superiores e os pontos abaixo da recta são de ordens inferiores. Vemos ainda que se a recta tiver um declive positivo, os termos serão infinitamente grandes em torno da origem e se tiver declive negativo, serão infinitesimais.

Como exemplo de aplicação, consideramos a equação x^4+x^3-y^2=0. Os seus termos são representados na grelha:

Polinómio x^4+x^3-yEscolhemos uma recta que une dois pontos do polinómio com declive negativo de modo que todos os outros pontos do polinómio se encontrem acima desta. Da observação do gráfico tiramos x^3\sim y, isto é, x\sim y^{1/3}. Fazemos x=ty^{1/3} e substituímos na equação para ficarmos com

t^4y^{\frac{4}{3}}+\left(t^3-1\right)y=0

Ignoramos todos os termos de ordem superior, isto é, o termo y^{4/3} donde tiramos t^3=1. Vamos apenas considerar a solução real desta equação, t=1. Assim, a nossa primeira aproximação será

x=y^{\frac{1}{3}}

Substituímos x por y^{1/3}+u na equação para ficarmos com

y^{\frac{4}{3}}+4yu+6y^{\frac{2}{3}}u^2+4y^{\frac{1}{3}}u^3+u^4+3y^{\frac{2}{3}}u+3y^{\frac{1}{3}}u^2+u^3=0

Com a mudança de variável y=z^3 reduzimos a equação anterior a

z^4+4z^3u+6z^2u^2+4zu^3+u^4+3z^2u+3zu^2+u^3=0

cujos termos admitem a seguinte representação gráfica.

polinómio subsidiárioA recta com maior declive negativo encontra-se representada na figura. Então consideramos que os monómios z^2u e z^4 são da mesma ordem de grandeza. Assim, temos u\sim z^2 donde fazemos u=tz^2. Substituímos u na equação anterior e ignoramos todos os termos de ordem mais elevada para ficarmos com

\left(t^4+3t\right)z^4=0

Daqui tiramos t=-\sqrt[3]{3} e

u=-\sqrt[3]{3}z^2

Isto dá-nos a aproximação

x=y^{\frac{1}{3}}-\sqrt[3]{3}y^{\frac{2}{3}}

Se repetirmos o processo apresentado obtemos uma série algébrica para a raiz x da equação algébrica em função de y. Séries deste género são frequentemente designadas por séries de Puiseux.

Deixo aqui a nota que a primeira tentativa de demonstração do Teorema Fundamental da Álgebra por D’Alembert foi baseada neste tipo de séries. De facto, a única falha da respectiva demonstração reside na consideração, sem prova, de que as séries são convergentes.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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