A expansão de Euler das funções trigonométricas

No artigo Limites de funções elementares apresentei uma discussão do limite das funções elementares com base na definição. Entre as funções das quais apresentei o estudo, encontram-se o seno e o co-seno. Com o propósito de estudar os limites notáveis de ambas as funções e com base em considerações geométricas deduzi as identidades

1-\frac{x^2}{2}\le\cos x\le 1

e

x-\frac{x^3}{2}\le\sin x\le x

Esta última identidade é válida para todos os valores de x\ge 0. Se x<0 então a segunda desigualdade tem de ser invertida, vindo

x\le\sin x\le x-\frac{x^3}{2}

No que se segue, consideramos sempre que x\ge 0 onde são válidas as duas primeiras desigualdades. Para além das desigualdades supracitadas, lembramos a desigualdade de Bernoulli (ver, por exemplo, A derivada da potência), nomeadamente,

\left(1-x\right)^n\ge 1-nx

Uma combinação desta e das duas primeiras desigualdades permite-nos escrever

x^\beta\left(1-\frac{\alpha+\beta}{2}x^2\right)\le\cos^\alpha x\sin^\beta x\le x^\beta

As primeiras desigualdades indicam que o co-seno é aproximadamente igual a 1 e o seno é aproximadamente igual a x para valores muito próximos da origem. Foi com base nesta importante observação que Euler obteve uma expansão em série para ambas as razões trigonométricas que estamos a considerar no seu Introductio in analysin infinitorum.

Para obtermos a expansão, partimos da fórmula de De Moivre

\cos nx + i\sin nx = \left(\cos x + i\sin x\right)^n

Expandimos o segundo membro com base na fórmula do binómio e igualamos as partes real e imaginária em ambos para obtermos

\cos nx =\cos^nx-\binom{n}{2}\cos^{n-2}x\sin^2x+\binom{n}{4}\cos^{n-4}x\sin^4x-\cdots\\ \sin nx =\binom{n}{1}\cos^{n-1}x\sin x-\binom{n}{3}\cos^{n-3}x\sin^3x+\binom{n}{5}\cos^{n-5}x\sin^5x-\cdots

Em ambas as fórmulas substituímos x por x/n, vindo

\cos x =\cos^n\left(\frac{x}{n}\right)-\binom{n}{2}\cos^{n-2}\left(\frac{x}{n}\right)\sin^2\left(\frac{x}{n}\right)+\binom{n}{4}\cos^{n-4}\left(\frac{x}{n}\right)\sin^4\left(\frac{x}{n}\right)-\cdots\\ \sin x =\binom{n}{1}\cos^{n-1}\left(\frac{x}{n}\right)\sin \left(\frac{x}{n}\right)-\binom{n}{3}\cos^{n-3}\left(\frac{x}{n}\right)\sin^3\left(\frac{x}{n}\right)+\binom{n}{5}\cos^{n-5}\left(\frac{x}{n}\right)\sin^5\left(\frac{x}{n}\right)-\cdots

Como as nossas desigualdades são aproximadamente uma identidade perto de x=0, interessa-nos, pois, estudar o comportamento das fórmulas anteriores quando n é muito grande e como consequência x/n permaneça o mais perto possível de zero. Ora, temos

\frac{1}{n^k}\binom{n}{k}=\frac{1}{n^k}\frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}=\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots \left(1-\frac{k-1}{n}\right)

Como 0\le k\le n, segue o enquadramento

\frac{1}{k!}\left(1-\frac{k}{n}\right)^k\le \frac{1}{n^k}\binom{n}{k}\le\frac{1}{k!}

Combinamos com as desigualdades anteriores para ficarmos com

\frac{1}{k!}\left(1-\frac{k}{n}\right)^k\left(1-\frac{x^2}{2n}\right)x^k\le\binom{n}{k}\cos^{n-k}\left(\frac{x}{n}\right)\sin^k\left(\frac{x}{n}\right)\le\frac{x^k}{k!}

Apenas para darmos um aspecto mais aceitável à expressão, observamos que

\left(1-\frac{k}{n}\right)^k=\left\lbrack\left(1-\frac{k}{n}\right)^n\right\rbrack^{\frac{k}{n}}\ge \left(e^{-k}\right)^{\frac{k}{n}}=e^{-\frac{k^2}{n}}

donde

\frac{1}{k!}e^{-\frac{k^2}{n}}\left(1-\frac{x^2}{2n}\right)x^k\le\binom{n}{k}\cos^{n-k}\left(\frac{x}{n}\right)\sin^k\left(\frac{x}{n}\right)\le\frac{x^k}{k!}

Com base no que foi exposto, conseguimos encontrar os seguinte enquadramentos

p_n(x)\le\cos x\le q_n(x)\\ r_n(x)\le\sin x\le s_n(x)

Ora, quando fazemos n\to+\infty, vemos que

\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots\\  \sin x==x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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