Investigações sobre a forma de reconhecer se um problema de Geometria pode ser resolvido com régua e compasso

Uma linha, um circunferência, um ângulo ou qualquer figura cujo desenho seja elaborável apenas com o auxílio de um compasso e de uma régua não graduada são designados por construções geométricas. Por exemplo, dados dois pontos, é possível construir a mediatriz, isto é, o conjunto de pontos que se situam à mesma distância dos pontos dados. De facto, se traçarmos dois círculos do mesmo raio centrados um em cada um dos pontos, se o raio for superior à metade da distância entre eles, estes círculos ir-se-ão intersectar em dois pontos da mediatriz. Estes dois pontos são suficientes para definir a recta procurada e o seu desenho pode ser conseguido com o auxílio de uma régua não graduada.

O problema das construções geométricas data da Antiguidade Clássica de onde sobressaíram três problemas para os quais os matemáticos da época não encontraram solução. O primeiro, referente à trissecção do ângulo, consistia em determinar, dado um arco de circunferência delimitado por dois pontos, o ponto nessa circunferência que divide esse arco em três partes iguais. O segundo, a quadratura do círculo, consiste, dado um círculo com um raio arbitrário, construir um quadrado cuja área seja igual à do círculo. O terceiro, o da duplicação do cubo, requeria a construção de um cubo com um volume duplo do de um cubo com lado conhecido. Um quarto problema que, desde cedo suscitou o interesse dos geómetras consiste na construção de polígonos regulares inscritos numa circunferência. Este problema foi completamente resolvido por Gauss aquando da aplicação de resultados em Teoria dos Números à Teoria das Equações Polinomiais no último capítulo do seu famoso Disquisitiones Arithmeticae.

Nenhum dos primeiros três problemas é solúvel com o auxílio de apenas um compasso e uma régua não graduada. A prova da sua insolubilidade foi finalmente conseguida no século XIX por Wantzel, o qual a publicou no artigo Investigações sobre as formas de reconhecer se um Problema de Geometria pode ser resolvido com régua e compasso.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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