Sobre a convergência das série trigonométricas que servem para representar uma função entre determinados limites

Começamos com a seguinte série de Mengoli

\sum_{k=1}^{n}\left\lbrack\sin\left( k\alpha+\beta\right)-\sin\left((k-1)\alpha+\beta\right)\right\rbrack=\sin\left(n\alpha+\beta\right)-\sin\beta

Aplicamos a conhecida fórmula

\sin A-\sin B=2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)

à expressão no interior do somatório para ficarmos com

2\sum_{k=1}^{n}{\cos\left\lbrack\left(k-\frac{1}{2}\right)\alpha+\beta\right\rbrack\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}=\sin\left(n\alpha+\beta\right)-\sin\beta

Substituímos, agora, \beta por \beta+\frac{\alpha}{2}, vindo

2\sum_{k=0}^{n-1}{\cos\left(k\alpha+\beta\right)\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}=\sin\left\lbrack\left(n+\frac{1}{2}\right)\alpha+\beta\right\rbrack-\sin\left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right)

Substituímos \beta por zero e arranjamos os termos para obtermos a expressão

\sum_{k=1}^{n}{\cos\left(k\alpha\right)}=\frac{\sin\left\lbrack\left(n+\frac{1}{2}\right)\alpha\right\rbrack}{2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}-\frac{1}{2}

Ora, qualquer função \phi(x), definida no intervalo \left\lbrack -\pi,\pi\right\rbrack pode ser aproximada, de acordo com um resultado de Fourier, por uma série do tipo

\phi(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\phi(\alpha)d\alpha+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\left(\cos kx\int_{-\pi}^{\pi}\phi(\alpha)\cos k\alpha d\alpha\right)+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\left(\sin kx\int_{-\pi}^{\pi}\phi(\alpha)\sin k\alpha d\alpha\right)

Como o operador de integral é linear, e atendendo à fórmula

\cos kx\cos k\alpha+\sin kx\sin k\alpha=\cos\left(k(x-\alpha)\right)

escrevemos a expressão anterior como

\phi(x)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\phi(\alpha)d\alpha\left(\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\cos\left(k(\alpha-x)\right)\right)

Por intermédio da nossa fórmula para a soma do co-seno, esta expressão corresponde precisamente ao seguinte limite

\lim_{n\to +\infty}{\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\phi(\alpha)\frac{\sin\left\lbrack\left(n+\frac{1}{2}\right)(\alpha-x)\right\rbrack}{2\sin\left(\frac{\alpha-x}{2}\right)}d\alpha}

Lejeune-Dirichlet recorreu a esta expressão para determinar em que condições as séries trigonométricas são convergentes. Para o efeito, dividiu-o em vários integrais e aplicou-lhes uma transformação conveniente. Para o resto da demonstração do autor, ver o respectivo artigo aqui.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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