Um comentário em teoria das equações ciclotómicas

No artigo Raízes da unidade apresento uma ligação para um texto onde exponho as ideias dos vários autores sobre a resolução da equação x^p-1=0 onde p é um número primo. Desde De Moivre até Gauss, muitas ideias foram avançadas relativamente a este tema e, neste artigo, irei discutir uma pequena observação sobre o resolvente de Lagrange-Vandermonde.

Com base na conhecida fórmula

\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^n=\cos\left(n\theta\right)+i\sin\left(n\theta\right)

observamos que as raízes da equação x^n-1=0 se escrevem como

x_k=\cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)

Por outro lado, temos também

\frac{1}{x_k}=\frac{1}{\cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)}=\cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)-i\sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)

Deste modo, vem finalmente

y_k = x_k+\frac{1}{x_k}=2\cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)

As conhecidas fórmulas trigonométricas permitem afirmar que, sendo n um número primo,

y_k^2=\left\lbrace\begin{matrix} y_{2k}+2,\ 2k\le\frac{n-1}{2}\\ y_{n-2k}+2,\ 2k>\frac{n-1}{2}\end{matrix}\right.

Por exemplo, se fizermos n=11, temos

y_1^2=y_2+2\\ y_2^2=y_4+2\\ y_4^2=y_3+2\\ y_3^2=y_2+2\\ y_5^2=y_1+2

Formamos a quantidade L=\left(y_1+\omega y_2+\omega^2y_4+\omega^3y_3+\omega^4y_5\right)^5, onde \omega satisfaz a equação \omega^5-1=0. Observamos que

L=\omega^5L=\left(y_5+\omega y_1+\omega^2y_2+\omega^3y_4+\omega^4y_3\right)^5

De uma modo geral, vemos que L é invariante sobre permutações cíclicas das variáveis y_1, y_2, y_4, y_3, y_5. Por outro lado, temos

L\left(y_1,y_2,y_4,y_3,y_5\right)=L\left(y_1, y_1^2+2,\left(y_1^2+2\right)^2+2,\cdots\right)

Do mesmo modo,

L\left(y_5,y_1,y_2,y_4,y_3\right)=L\left(y_5, y_5^2+2,\left(y_5^2+2\right)^2+2,\cdots\right)

isto é, L\left(y_1, y_1^2+2,\left(y_1^2+2\right)^2+2,\cdots\right)=L\left(y_5, y_5^2+2,\left(y_5^2+2\right)^2+2,\cdots\right). Como o princípio pode ser aplicado a todas as permutações cíclicas dos argumentos de L, vem finalmente

\begin{matrix}L=\frac{1}{5}\left\lbrack L\left(y_1, y_1^2+2,\left(y_1^2+2\right)^2+2,\cdots\right)+L\left(y_2, y_2^2+2,\left(y_2^2+2\right)^2+2,\cdots\right)+\right.\\ +\left. L\left(y_3, y_3^2+2,\left(y_3^2+2\right)^2+2,\cdots\right)+\cdots\right\rbrack\end{matrix}

Concluímos que a nossa função L é simétrica nos seus argumentos. Para verificar como o seu cálculo é realizado e como pode ser usada para resolver a equação ciclotómica de grau 11, submeto o leitor para o texto supracitado. Resumidamente, observamos que

x^{11}-1=(x-1)\left(x^{10}+x^9+x^8+\cdots+1\right)

Separamos assim a raiz x_0=1. Aplicamos de seguida a transformação y=x+\frac{1}{x} para obtermos uma nova equação de grau 5 em y cujos coeficientes são racionais e cujas raízes são os y_k. Como L é simétrico nestas raízes, pode ser escrito como combinação racional das raízes da unidade de grau 5 e dos coeficientes do polinómio em y, isto é

L=A_1+A_2\omega+A_3\omega^2+A_3\omega^3+A_4\omega^4

É possível construirmos quatro destas quantidades que são diferentes entre si. As outras são \omega^k L. Resulta, deste modo, num sistema de equações que admite solução se lhe acrescentarmos a equação que resulta das fórmulas de Viète

y_1+y_2+y_3+y_4+y_5=a

onde a corresponde ao coeficiente do termo de grau 4 do polinómio subsidiário em y.

Esta abordagem, apesar de ser interessante, baseia-se em conceitos de trigonometria e, do meu ponto de vista, este assunto deveria ser tratado de uma forma puramente algébrica. Como vamos apresentar o caso de um ponto de vista mais geral, consideramos doravante que p corresponde a um número primo qualquer e n corresponde a um número composto.

Começamos com a equação x^p-1=0 a qual admite a raiz x_0=1 onde as outras raízes x_1, x_2,\cdots, x_{p-1} são solução da equação

x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1=0

A primeira observação que fazemos consiste em afirmar que a equação x^p-1=0 não admite raízes múltiplas. Isto acontece porque a sua derivada, px^{p-1} anula-se em 0 e este número não é uma raiz da equação. À primeira vista somos levados a concluir que necessitamos de um resultado analítico para chegar a esta conclusão. Resta-me remeter o leitor para um texto que refiro em A Derivada no qual encontramos uma prova algébrica, devido a Hude, que antecede a introdução do Cálculo. Além disso, vale a identidade

x^p-1=\left(x^k-1\right)\left(x^{p-k}+x^{p-2k}+...x^\alpha\right)+\left(x^\alpha-1\right)

onde \alpha corresponde ao resto da divisão de p por k considerando sempre 0<k<p. Como p é primo, \alpha\ne 0 e, consequentemente, se x_k for solução de x^p-1 então não pode ser solução da equação x^k-1=0 com 0<k<p a menos que x_k seja 1.

Pegamos, deste modo, em duas raízes diferentes x_i e x_j. Temos, portanto,

\begin{matrix}0=\left(x_i^p-1\right)\left(x_i^p-1\right)=x_i^{2p}-2x_i^p+1\\ 0=\left(x_i^p-1\right)\left(x_j^p-1\right)=x_i^px_j^p-\left(x_i^p+x_j^p\right)+1\end{matrix}

Porém, também é verdade que x_i^p=1 e x_j^p=1 e, das equações anteriores, concluímos

\begin{matrix}\left(x_i^2\right)^p-1=0\\ \left(x_ix_j\right)^p-1=0\end{matrix}

Vemos imediatamente que se x_i e x_j forem duas raízes da equação x^p-1 então x_i^2 e x_ix_j também são solução dessa mesma equação. Não é difícil de constatar que o conjunto raízes forma um grupo relativamente à multiplicação e é possível organiza-las de modo que x_ix_j=x_{i+j} onde a soma é realizada módulo p (calcula-se a soma e obtém-se o resto da divisão do resultado por p). No texto O pequeno teorema de Fermat encontramos uma forma de encontrar um número r entre 1 e p-1 de modo que r^m mod p, m=1,2,\cdots,p-1 gera todo o conjunto \left\lbrace1,2,\cdots,p-1\right\rbrace. A r dá-se a designação de raiz primitiva de p. Construímos o resolvente de Vandermonde-Lagrange, considerando \omega como sendo raiz da equação x^{p-1}-1,

L(x_1)=\left(x_1+x_1^r\omega+x_1^{r^2}\omega^2+\cdots+x_1^{r^{p-1}}\omega^{p-1}\right)^{p-1}

É importante notar que x_1^{r^k} corresponde a uma raiz diferente para cada k e a função construída possui todas as raízes x_m com m=1,\cdots,p-1. Com as raízes organizadas em L desta forma concluímos, com o mesmo argumento que utilizámos atrás, que L é uma função simétrica nas raízes e, por conseguinte, pode ser escrita como

L=A_1+A_2\omega+A_3\omega^2+\cdots+A_{p-1}\omega^{p-2}

O mesmo processo utilizado no texto que referi ao início deste artigo permite concluir que é possível escrever as raízes de x^p-1 como combinação de radicais de índice p de expressões racionais das raízes da equação x^{p-1}-1=0.

Ora, se n for um número composto, o nosso processo falha. Contudo, sendo n=pq temos x^{pq}-1=0 ou \left(x^{p}\right)^q-1=0. A transformação y=x^p permite reduzi-la à equação de menor grau y^q-1=0.

Com base nestas observações, um argumento de indução simples permite afirmar que é possível resolver qualquer equação ciclotómica com o auxílio das operações elementares e da extracção de raízes.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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