Cálculo do seno do ângulo entre duas secantes consecutivas construídas sobre o gráfico de uma função

Por vezes, ao fazer certas leituras relacionadas com a aproximação de uma distribuição de massa por um conjunto de pontos materiais deparo-me com o problema da determinação do seno do ângulo formado por duas secantes consecutivas construídas sobre o gráfico de uma função. O resultado é normalmente tratado como elementar e acabo sempre por perder algum tempo para fazer essa verificação. Deixo aqui, por curiosidade, uma resolução algébrica do problema.

Consideremos uma corda fixa em dois pontos arbitrários do eixo das abcissas e que esta está dividida segundo intervalos equidistantes. Consideremos três pontos consecutivos, A, B e C, os quais são dados pelas coordenadas \left(x_1,y_1\right), \left(x_2,y_2\right) e \left(x_3,y_3\right) respectivamente, assumindo que x_2-x_1=x_3-x_2=r. Supomos também que a forma da corda é representada pelo gráfico da função y=f(x) e pretendemos determinar o ângulo formado pelas duas secantes consecutivas AB e BC como representado na figura.

Representação gráfica de duas secantes consecutivas numa curva.Consideramos que o ângulo entre as secantes é dado pelo arco AC com centro em B considerando que a circunferência descrita é percorrida no sentido directo, isto é, no sentido contrário ao movimento dos ponteiros de um relógio analógico.

Ora, os vectores \vec{BA} e \vec{BC} possuem coordenadas \left(r,y_1-y_2\right) e \left(r,y_3-y_2\right) respectivamente. Estas coordenadas, como é habitual em álgebra, correspondem às diferenças entre as coordenadas dos pontos finais e iniciais. Se designarmos o ângulo por \alpha, temos, de acordo com os conceitos de produto externo,

\left\|\vec{BA}\right\|\left\|\vec{BC}\right\|\sin{\alpha}=\left\|\vec{BA}\times\vec{BC}\right\|

Temos também

\left\|\vec{BA}\times\vec{BC}\right\|^2=\left\|\vec{BA}\right\|^2\left\|\vec{BC}\right\|^2-\vec{BA}\cdot\vec{BC}

e, portanto,

\left\|\vec{BA}\times\vec{BC}\right\|^2=r^2\left\lbrack \left(y_1-y_2\right)^2+\left(y_3-y_2\right)^2+2\left(y_1-y_2\right)\left(y_3-y_2\right) \right\rbrack

Aplicando o caso notável temos finalmente

\left\|\vec{BA}\times\vec{BC}\right\|^2=r^2\left(y_1-2y_2+y_3\right)^2

Combinando as expressões anteriores escrevemos

\sin^2{\alpha}=\frac{r^2\left(y_1-2y_2+y_3\right)^2}{\left\lbrack r^2 + \left(y_1-y_2\right)^2\right\rbrack \left\lbrack r^2 + \left(y_3-y_2\right)^2\right\rbrack}

Definindo o sentido da medição do ângulo como acima, temos finalmente

\sin{\alpha}=\frac{r}{\sqrt{\left\lbrack r^2 + \left(y_1-y_2\right)^2\right\rbrack \left\lbrack r^2 + \left(y_3-y_2\right)^2\right\rbrack}}\left(y_1-2y_2+y_3\right)

Eis a expressão geral para o seno do ângulo procurado.

Esta fórmula pode ser escrita na forma

\sin{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{\left\lbrack 1 + \left(\frac{y_1-y_2}{r}\right)^2\right\rbrack \left\lbrack 1 + \left(\frac{y_3-y_2}{r}\right)^2\right\rbrack}}\frac{y_1-2y_2+y_3}{r}

Suponhamos que a função representa a forma da perturbação de uma corda elástica esticada entre dois pontos no eixo das abcissas e que essa perturbação é de tal modo insignificante que os valores y_1-y_2 e y_3-y_2 são muito menores que r. Neste caso, é válida a aproximação

\sin{\alpha}=\frac{y_1-2y_2+y_3}{r}

Obviamente, se a função for derivável, encontramos sempre um refinamento do intervalo compreendido entre as extremidades das cordas onde esta aproximação é válida. Esta aproximação é sempre inválida no caso em que a função apresenta, para cada refinamento escolhido, uma série de oscilações da ordem dos seus intervalos.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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