Existência de quantidades transcendentes

Um número qualquer x\in\mathbb{R} diz-se irracional se não for solução de nenhuma equação da forma ax+b=0 onde a e b são números inteiros. Sabemos, por exemplo, que \sqrt{2} constitui um número nesta classe.

Como generalização ao que foi apresentado, dizemos que um número x é algébrico se for solução de alguma equação polinomial

a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0

cujo grau n é um número finito.

Posto isto, somos levados a indagar se existirão números que não são solução de nenhuma equação algébrica. A resposta é positiva e foi dada por Liouville na sua Memória sobre uma classe de quantidades raras cujo valor não é algébrico nem mesmo redutível às irracionalidades algébricas, na qual construiu alguns exemplos.

Mais tarde Hermite mostrou que e é transcendente e Lindemann, por intermédio de uma generalização conveniente, demonstrou que \pi é transcendente. É pertinente referir um resultado ainda mais geral devido a Weirstrass, o qual recebe o pomposo nome de Teorema de Hermite-Lindemann-Weirstrass, no qual se afirma que se um conjunto de números algébricos a_i for linearmente independente sobre \mathbb{Q} então o conjunto de números \theta_i=e^{a_i} é algebricamente independente sobre \mathbb{Q}.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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