Equações polinomiais – uma observação

Sabemos que uma transformação da forma y=x+K permite transformar a equação polinomial

x^n-a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+(-1)^{n-1}a_1x+(-1)^na_0=0

na equação

y^n-A_{n-2}y^{n-2}+\cdots+(-1)^{n-1}A_1y+(-1)^nA_0=0

isto é, numa equação do mesmo grau onde não aparece o termo de grau n-1. Poderíamos determinar o número K substituindo, na equação original, o valor de x da equação subsidiária, isto é, fazer a substituição x=y-K. Vamos concluir o respectivo valor por um outro processo.

Começamos por observar que a equação original possui n raízes como o sabemos do Teorema Fundamental da Álgebra. Designamos por x_i cada uma dessas raízes. Se substituirmos na equação subsidiária, obtemos n valores para y, y_i=x_i+K. Note-se que irão existir tantos valores diferentes de y_i quantos os de x_i. Então, os y_i serão raízes de uma equação de grau n cujos coeficientes são dados por

A_{n-1}=y_1+y_2+\cdots+y_n\\ A_{n-2}=y_1y_2+y_1y_3+\cdots+y_1y_y+y_2y_3+\cdots+y_2y_n+\cdots

e assim sucessivamente até A_0=y_1y_2\cdots y_n. Obtemos assim a equação pretendida na variável y se A_{n-1}=0. Mas

A_{n-1}=y_1+\cdots+y_n=x_1+\cdots+x_n+nK=a_{n-1}+nK

de onde resulta a equação linear

a_{n-1}+nK=0

de onde concluímos o resultado K=-\frac{a_{n-1}}{n}.

Se pretendermos obter uma equação em y de modo que o termo A_{n-2}=0 observamos que

A_{n-2}=\left(x_1+K\right)\left(x_2+K\right)+\cdots+\left(x_1+K\right)\left(x_n+K\right)+\left(x_2+K\right)\left(x_3+K\right)+\cdots

Este valor é um pouco mais difícil de obter. Com um pouco de álgebra chegamos ao resultado

A_{n-2}=a_{n-2}+(n-1)a_{n-1}K+nK^2

Trata-se de uma equação de segundo grau em K. Para obter equações em y de modo que os seus termos intermédios A_{n-3}, A_{n-4}, etc., teremos de resolver equações de grau 3, 4, etc., respectivamente em K.

Ora, podemos generalizar o procedimento apresentado de modo a, ao invés de eliminar um termo intermédio do polinómio em y, eliminar dois termos intermédios. Para o efeito, consideramos a equação subsidiária

y=x^2+b_1x+b_2

Com base nas n raízes x_i da equação construímos n valores y_i que serão raízes de uma equação em y,

y^n+A_{n-1}y^{n-1}+\cdots+A_1y+A_0=0

Com o auxílio das fórmulas de Viète apresentadas acima, temos, por exemplo,

A_{n-1}=y_1+y_2+\cdots+y_n = x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2+b_1\left(x_1+\cdots+x_n\right)+nb_2

Com o auxílio das fórmulas de Newton-Girard obtemos a soma dos quadrados das raízes como função dos coeficientes do polinómio original vindo

A_{n-1}=a_{n-1}^2-2a_{n-2}+a_{n-1}b_1+nb_2

Vemos que A_{n-1} se escreve como um polinómio de grau unitário nas variáveis b_1 e b_2. Do mesmo modo verificamos que A_{n-k} se escreve como um polinómio de grau k nas variáveis b_1 e b_2.

Se pretendermos eliminar os termos intermédios A_{n-k} e A_{n-l} somos conduzidos a um sistema de equações de grau k e l respectivamente. A resolução resulta, como advém de um resultado de Bézout, num polinómio de grau kl.

Obviamente, a transformação mais geral, isto é, aquela que permite eliminar o maior número de termos intermédios do polinómio em y é da forma

y=x^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_1x+b_0

Neste caso, o coeficiente A_{n-k} da equação em y resultante será um polinómio de grau k nas variáveis b_{n-1}, b_{n-2}, b_{n-3}, etc..

Vamos supor que com uma escolha adequada dos coeficientes b_k obtivemos uma equação em y que conseguimos resolver, determinando as suas soluções y_i. Vejamos um método para determinar o valor dos x_i correspondentes.

Vamos agora considerar que a variável x representa uma raiz da equação inicial

x^n-a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+(-1)^{n-1}a_1x+(-1)^na_0=0

Daqui resulta que

x^n=-a_{n-1}x^{n-1}+\cdots-(-1)^{n-1}a_1x-(-1)^na_0

e então

x^{n+1}=-a_{n-1}x^n+\cdots-(-1)^{n-1}a_1x^2-(-1)^na_0x
x^{n+2}=-a_{n-1}x^{n+1}+\cdots-(-1)^{n-1}a_1x^3-(-1)^na_0x^2
\vdots
x^{n+k}=-a_{n-1}x^{n+k-1}+\cdots-(-1)^{n-1}a_1x^{k+1}-(-1)^na_0x^k

Substituímos x^{n+1} tirado da primeira equação nas equações seguintes, depois x^{n+2} tirado da segunda equação nas equações subsequentes e assim sucessivamente, conseguimos escrever qualquer potência de x superior a n como combinação linear das potências de x cujo grau está compreendido entre 0 e n. Deste modo, com um enorme esforço computacional podemos escrever

\left\lbrace \begin{matrix}  y-b_0=x^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_1x\\  y^2-b'_0=b'_nx^n+b'_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b'_1x\\  \vdots\\  y^n-b^{(n)}_0=b^{(n)}_nx^n+b^{(n)}_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b^{(n)}_1x  \end{matrix} \right.

Resolvemos este sistema em ordem às várias potências de x e em particular, com o auxílio da regra de Cramer, escrevemos x como

x=c_ny^n+c_{n-1}y^{n-1}+\cdots+c_1y+c_0

Vejamos um exemplo prático. Começamos com a equação

x^4-x^3+x^2-2x+1=0

Aplicamos a transformação

y=x^2+ax+b

Relativamente ao polinómio em y temos y^4-A_3y^3+A_2y^2-A_1y+A_0=0 onde

\left\lbrace  \begin{matrix}  A_3=-1+a+4b\\  A_2=1-5a-3b+a^2+3ab+6b^2\\  A_1=6-a-2b-2a^2-10ab-3b^2+2a^3+2a^2b+3ab^2+4b^3\\  A_0=1+2a+3b+a^2-ab-b^2+a^3-2a^2b-5ab^2-b^3+a^4+2a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4  \end{matrix}  \right.

Se quisermos que A_3=A_1=0, resolvemos o sistema

\left\lbrace  \begin{matrix}  -1+a+4b=0\\  6-a-2b-2a^2-10ab-3b^2+2a^3+2a^2b+3ab^2+4b^3=0\\  \end{matrix}  \right.

Resolvendo a primeira equação em ordem a a e substituindo na segunda, obtemos a equação do terceiro grau

-104b^3+88b^2-14b+5=0

Convém observar que, obtendo um valor para b a partir desta equação, obtemos um valor para a e o polinómio em y fica escrito como

y^4+A_2y^2+A_0

onde A_2 e A_4 são determinados. Trata-se de uma equação cujas raízes y_1, y_2, y_3 e y_4 se obtêm facilmente por intermédio da mudança de variável z=y^2. Dados este valores de y recuperamos as raízes da equação de quarto grau. Reduzimos assim a determinação das raízes de uma equação de quarto grau à resolução de uma equação do terceiro.

O método apresentado é complicado e requer a aplicação do algoritmo lexicográfico sabendo que as funções simétricas elementares das raízes de um polinómio correspondem aos seus coeficientes. Apesar de ser trabalhoso, o método permite aprofundar o conhecimento sobre a teoria das equações polinomiais.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
Esta entrada foi publicada em Matemática com as etiquetas , , , . ligação permanente.

Deixe uma Resposta

Preencha os seus detalhes abaixo ou clique num ícone para iniciar sessão:

Logótipo da WordPress.com

Está a comentar usando a sua conta WordPress.com Terminar Sessão / Alterar )

Imagem do Twitter

Está a comentar usando a sua conta Twitter Terminar Sessão / Alterar )

Facebook photo

Está a comentar usando a sua conta Facebook Terminar Sessão / Alterar )

Google+ photo

Está a comentar usando a sua conta Google+ Terminar Sessão / Alterar )

Connecting to %s