Os corpos numéricos algébricos mais comuns

Consideremos a equação polinomial

b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_1x+b_0

onde os b_i são números racionais, isto é, b_i\in\mathbb{Q}. Um exemplo deste tipo de equações é

\frac{2}{3}x^3-\frac{1}{2}x+2=0

uma vez que b_3=\frac{2}{3}, b_2=0, b_1=-\frac{1}{2} e b_0=2 estão em \mathbb{Q}. Se reduzirmos ambos os membros da equação ao mesmo denominador, de acordo com as regras algébricas comuns, conseguimos escrever a equação equivalente

4x^3-3x+12=0

Como o processo da redução ao mesmo denominador é aplicável a qualquer polinómio com coeficientes racionais, conseguimos reduzir a equação polinomial inicial a

a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0

de tal modo que os a_i estejam em \mathbb{Z}. A equação envolve portanto um polinómio com coeficientes inteiros. Vimos que o estudo das raízes de um polinómio com coeficientes racionais se reduz ao estudo das raízes de um polinómio com coeficientes inteiros. Suponhamos agora que nos interessamos apenas pelas raízes racionais do polinómio. Se estas existirem serão da forma \frac{p}{q} onde p e q\ne 0 são números inteiros primos entre si. Substituímos a fracção na equação anterior e reduzimos ao mesmo denominador, vindo

a_np^n+a_{n-1}qp^{n-1}+\cdots+a_1q^{n-1}p+a_0q^n=0

Se considerarmos a equação na forma

a_np^n=-\left(a_{n-1}qp^{n-1}+\cdots+a_1q^{n-1}p+a_0q^n\right)

verificamos que o segundo membro é divisível por q (uma vez que é possível pô-lo em evidência. Concluímos da igualdade que q tem de dividir o primeiro membro. Como q é primo com p e consequentemente com p^n então q terá de dividir a_n. Esta afirmação encontra uma justificação simples no Teorema Fundamental da Aritmética se considerarmos a factorização única de cada um dos intervenientes.

Se reescrevermos a equação na forma

a_0q^n=-\left(a_np^n+a_{n-1}qp^{n-1}+\cdots+a_1q^{n-1}p\right)

o mesmo argumento permite-nos concluir que p terá de dividir a_0.

Tomemos de novo o exemplo

4x^3-3x+12=0

Os divisores de a_3=4 são \left\lbrace 1,2,4\right\rbrace e os divisores de a_0=12 são \left\lbrace 1,2,3,4,6,12\right\rbrace. Como p terá de dividir a_0 e q terá de dividir a_3, concluímos que as únicas possibilidades para a solução da equação são

\left\lbrace \pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6,\pm 12,\pm\frac{1}{2},\pm\frac{3}{2},\pm\frac{1}{4},\pm\frac{3}{4}\right\rbrace

Nenhum dos valores do conjunto satisfaz a equação. Por outro lado, se a equação possuísse uma solução racional então teria de ser uma das listadas. Concluímos daqui que uma solução racional não existe. A equação

4x^3-x+12=0

por seu turno admite, como solução possível, algum dos elementos do mesmo conjunto e, por intermédio de uma inspecção directa, descobrimos que esta é verificada pelo valor -\frac{3}{2}.

Apliquemos o mesmo princípio à equação x^n-k=0 com n>2 e k\in\mathbb{N}. Se procurarmos uma solução racional da forma \frac{p}{q} chegamos imediatamente à conclusão de que esta existe se q=1 e p dividir k, isto é, k=pk_1. Substituímos a nossa solução na equação, vindo p^n-pk_1=0. Então, p é também solução da equação x^{n-1}-k_1=0 e terá obrigatoriamente de dividir k_1, isto é, k_1=pk_2. O mesmo argumento permite-nos concluir que p é também solução da equação x^{n-2}-k_2=0. Se prosseguirmos o processo concluímos que p é solução da equação linear x-k_{n-1}=0, isto é, a solução existe se p=k_{n-1}. Segue-se portanto que, nestas condições, que k_{n-2}=pk_{n-1}=p^2 e assim sucessivamente até k=p^n. Mostrámos, com base no resultado anterior que a equação x^n-k possui solução racional apenas quando existir um divisor p de k de tal forma que p^n=k.

Por exemplo, como 2 não possui nenhum divisor p de tal forma que p^2=2 (repare-se que os únicos divisores de 2 são 1 e 2) então a equação x^2-2=0 não possui uma solução racional. Sabemos que, em \mathbb{R}, as soluções da equação são \pm\sqrt{2}. Concluímos portanto que \sqrt{2} é um número irracional. De um modo geral, o número \sqrt[n]{k} é racional apenas quando existir um número p que divida k tal que k=p^n.

A título de exemplo do que será de seguida exposto vamos centrar-nos nos números \alpha=\sqrt[5]{2} e \beta=\sqrt{3}. Como ambos são números irracionais, então quantidades do tipo

a+b\sqrt{3}

com a e b inteiros, continuam a ser irracionais. De facto, se supusermos que a+b\sqrt{3}=r, sendo r um número racional, então se resolvermos a equação em ordem a \sqrt{3} obtemos uma expressão racional para \sqrt{3} o que contradiz o facto deste número ser irracional, um absurdo. Ora, sendo \beta tal que \beta^2-3=0, não existem a e b racionais de modo que a+b\beta=0. Se \beta fosse raiz de a+b\beta=0 então este polinómio seria um divisor de \beta^2-3. Dizemos que um polinómio com coeficientes racionais é irredutível se não possuir nenhum divisor com coeficientes racionais.

Consideremos agora o valor \alpha=\sqrt[5]{2}. Temos identicamente \alpha^5-2=0. Mostra-se que este polinómio é irredutível. Deste modo, o número

a_0+a_1\sqrt[5]{2}+a_2\sqrt[5]{4}+a_3\sqrt[5]{8}+a_4\sqrt[5]{16}=a_0+a_1\alpha+a_2\alpha^2+a_3\alpha^3+a_4\alpha^4

é irracional para qualquer valor dos a_i. Por outro lado, temos por exemplo \sqrt[5]{4}\sqrt[5]{16}=2\sqrt[5]{2} ou \sqrt[5]{16}\sqrt[5]{16}=2\sqrt[5]{8} com expressões semelhantes para as outras combinações das raízes. Recorrendo a estas propriedades vemos que, dados quaisquer valores racionais a_0, a_1, a_2, a_3, a_4, b_0, b_1, b_2, b_3 e b_4, encontramos racionais c_0, c_1, c_2, c_3, c_4 tais que

\left(a_0+a_1\sqrt[5]{2}+a_2\sqrt[5]{4}+a_3\sqrt[5]{8}+a_4\sqrt[5]{16}\right)\left(b_0+b_1\sqrt[5]{2}+b_2\sqrt[5]{4}+b_3\sqrt[5]{8}+b_4\sqrt[5]{16}\right)=c_0+c_1\sqrt[5]{2}+c_2\sqrt[5]{4}+c_3\sqrt[5]{8}+c_4\sqrt[5]{16}

O máximo divisor comum entre \alpha^5-2 um qualquer polinómio de grau inferior diferente do polinómio nulo é sempre 1 devido à sua irredutibilidade. Então, existem dois polinómio f(\alpha) e g(\alpha) tais que

f(\alpha)\left(a_0+a_1\alpha+a_2\alpha^2+a_3\alpha^3+a_4\alpha^4\right)+g(\alpha)\left(\alpha^5-2\right)=1

Se substituirmos \alpha por \sqrt[5]{2} vemos que a identidade anterior se escreve

f\left(\sqrt[5]{2}\right)\left(a_0+a_1\sqrt[5]{2}+a_2\sqrt[5]{4}+a_3\sqrt[5]{8}+a_4\sqrt[5]{16}\right)=1

ou

f\left(\sqrt[5]{2}\right)=\frac{1}{a_0+a_1\sqrt[5]{2}+a_2\sqrt[5]{4}+a_3\sqrt[5]{8}+a_4\sqrt[5]{16}}

Trata-se da generalização de um processo que é conhecido por racionalização de denominadores. Facilmente concluímos que todos os números da forma

a_0+a_1\sqrt[5]{2}+a_2\sqrt[5]{4}+a_3\sqrt[5]{8}+a_4\sqrt[5]{16}

satisfazem todos os axiomas de corpo, o qual se denota por \mathbb{Q}\left[\sqrt[5]{2}\right]. Dizemos que \mathbb{Q}\left[\sqrt[5]{2}\right] é uma extensão de \mathbb{Q}. A introdução do valor \sqrt{3}, por exemplo, permite estender este corpo.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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