Uma fórmula de recorrência

No texto Factorização de polinómios em polinómios com raízes simples introduzi um vídeo no qual explico como é possível obter a factorização de um polinómio p(x) em polinómios de menor grau q_1(x), q_2(x), etc. onde cada um dos polinómios q_i(x) não possui quaisquer raízes múltiplas. De acordo com o método exposto não é necessário proceder ao cálculo directo das raízes de p(x).

No mesmo vídeo podemos ver uma fórmula de Hermite que consiste numa recorrência que permite auxiliar o cálculo do integral de uma função racional que contenha uma potência arbitrária de um polinómio com raízes simples. A fórmula escreve-se como

\int{\frac{r(x)}{q_i^n (x)}}=\frac{1}{n-1}\frac{G(x)}{q_i^{n-1}(x)}+\frac{1}{n-1}\int{\frac{(n-1)H(x)-G'(x)}{q_i^{n-1}(x)}}

onde G(x) e H(x) são polinómios que satisfazem a identidade

H(x)q_i(x)-G(x)q_i'(x)=r(x)

É sempre possível obter uma identidade deste género uma vez que q_i(x) e q_i'(x) são primos entre si.

Vamos agora tratar dois exemplos muito simples. Seja q(x)=x^2\pm 1. Temos para ambos os polinómios q'(x)=2x de onde se segue que se q(x) possuísse uma raiz dupla esta seria o zero. Como q(0)\ne 0, concluímos que q(x) tem apenas raízes simples.

Pretendemos então calcular o integral

\int{\frac{dx}{\left(x^2\pm 1\right)^n}}

Para o efeito, observamos que se fizermos r(x)=1, temos a identidade

H(x)\left(x^2\pm 1\right)-2xG(x)=1=r(x)

onde H(x)=\pm 1 e \pm\frac{x}{2}.

Se substituirmos na expressão de Hermite obtemos a fórmula de recorrência

\int{\frac{dx}{\left(x^2\pm 1\right)^n}}=\pm\frac{1}{2(n-1)}\frac{x}{\left(x^2\pm 1\right)^{n-1}}\pm\frac{2n-3}{2n-2}\int{\frac{dx}{\left(x^2\pm 1\right)^{n-1}}}

Fica aqui um exemplo simples de aplicação da fórmula de Hermite. Deixo ainda a nota de que a expressão assume um papel fulcral no desenvolvimento da teoria da integração simbólica até aos trabalhos de Risch na área (veja-se, por exemplo, Symbolic Integration Tutorial de Bronstein) e subsequentes melhorias.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
Esta entrada foi publicada em Matemática. ligação permanente.

Deixe uma Resposta

Preencha os seus detalhes abaixo ou clique num ícone para iniciar sessão:

Logótipo da WordPress.com

Está a comentar usando a sua conta WordPress.com Terminar Sessão / Alterar )

Imagem do Twitter

Está a comentar usando a sua conta Twitter Terminar Sessão / Alterar )

Facebook photo

Está a comentar usando a sua conta Facebook Terminar Sessão / Alterar )

Google+ photo

Está a comentar usando a sua conta Google+ Terminar Sessão / Alterar )

Connecting to %s