Uma tabela de resultados em análise vectorial

O plano de estudos do Mestrado em Matemática Aplicada que frequentei contava com uma disciplina opcional sobre dinâmica dos fluidos. No programa estudámos essencialmente a equação de Navier-Stockes que descreve fluidos com viscosidade dependente do gradiente de velocidades. Sendo \vec{u} a velocidade do fluido, esta equação assume a forma

\frac{\partial \vec{u}}{\partial t}+\vec{u}\cdot\nabla\vec{u}=-\frac{1}{\rho}\vec{\nabla}P+\mu\nabla^2\vec{u}+\vec{F}

onde P é a pressão, \mu é o coeficiente de viscosidade cinemática e \vec{F} representa a força volúmica, isto é, a força que é exercida sobre a massa do fluido. Se aplicarmos o rotacional a cada um dos membros desta equação e fizermos \vec{\omega}=\vec{\nabla}\times\vec{u}, obtemos

\frac{\partial\omega}{\partial t}=-\vec{u}\cdot\vec{\nabla}\omega+\mu\nabla^2\omega

em fluidos bidimensionais nos quais \vec{\omega} é perpendicular aos planos onde estes se movem. Com um pouco de perspicácia observamos que é necessário aplicarmos algumas identidades de análise vectorial que nos permitam ir de uma equação à outra.

Enquanto elaborava umas notas sobre a radiação do dipolo (ver A radiação do dipolo e de cargas em movimento) senti a necessidade de as voltar a utilizar. Apesar de já terem passado vários anos, encontrei um rascunho que intitulei Tabela de resultados com a dedução algébrica de várias identidades do género elaborado como exercício proposto na disciplina supracitada.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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