A análise do ponto de vista histórico

Nestes últimos tempos tenho investigado alguns dos principais temas de análise com o intuito de expor as ideias básicas de um ponto de vista histórico. O texto, que se encontra em fase de desenvolvimento e será submetido a futuras actualizações, pode ser encontrado aqui, organizado por capítulos. Apesar de aí encontrarmos uma exposição mais detalhada, talvez seja pertinente o resumo de alguns dos tópicos mais interessantes. Exponho-os aqui numa ordem arbitrária.

Dirijo, em primeiro lugar, a atenção para a função gama que pode ser encarada como a função que define x!=x(x-1)(x-2)\cdots 1 para valores não inteiros de x. Numa carta de 1729 dirigida a Goldbach, Bernoulli sugeriu a seguinte função de interpolação para n!,

n!\approx \left(A+\frac{n}{2}\right)^{n-1}\left(\frac{2}{1+n}\cdot\frac{3}{2+n}\cdot\frac{4}{3+n}\cdots\frac{A}{A-1+n}\right)

O autor notou que, quanto maior for o valor de A, maior é a aproximação da expressão ao valor de n!. De facto, com n=3 e A=16, temos

3!\approx \left(16+\frac{2}{2}\right)^2\left(\frac{2}{17}\frac{3}{18}\right)=6\frac{1}{204}

isto é, proporciona-nos o valor de 3! a menos de um valor tão pequeno quanto \frac{1}{204}. Se n for um valor inteiro, verificamos facilmente que, de acordo com a expressão, temos

\lim_{k\to+\infty}\left\lbrack \frac{2\times 3\times\cdots\times n}{(k+1)(k+2)\cdots (k+n-1)}\left(k+\frac{n}{2}\right)^{n-1}\right\rbrack

Se notarmos que

\frac{1}{(k+1)(k+2)\cdots (k+n-1)}=\frac{k!}{(k+n-1)!}=\frac{1}{n!}\frac{k!}{(n+1)(n+2)\cdots (n+k-1)}

Podemos, portanto, definir

x!=\lim_{k\to +\infty}\left\lbrack \frac{k!}{(x+1)(x+2)\cdots(x+k-1)}\left(k+\frac{x}{2}\right)^{x-1}\right\rbrack

para qualquer valor de x>0. Convém notar que o autor quedou-se na primeira expansão e, portanto, podemos considerar que, apesar de estar próximo da definição de uma função de interpolação para o factorial de um número, não a escreveu explicitamente.
Uns dias mais tarde, Euler escreveu uma carta ao mesmo destinatário onde sugeriu a fórmula

x!=\lim_{k\to +\infty}\left\lbrack \frac{k!}{(n+1)(n+2)\cdots (n+k)}(k+1)^x\right\rbrack

e a demonstração de que realmente x! coincide com o valor do factorial de x quando x é um valor inteiro. Se observarmos os resultados de ambos os autores, concluímos que

x!=\lim_{k\to +\infty}\left\lbrack \frac{k!}{(x+1)(x+2)\cdots(x+k)}\left(k+\alpha(x)\right)^x\right\rbrack

onde \alpha(x) é uma função sempre finita de x. A consideração de \alpha(x)=0 conduz-nos à definição de Gauss, nomeadamente,

x!=\lim_{k\to +\infty}\left\lbrack \frac{k!k^x}{(x+1)(x+2)\cdots(x+k)}\right\rbrack

No seu trabalho sobre o cálculo integral, Legendre introduziu a notação \Gamma(x) para a função que satisfaz a relação de recorrência \Gamma(x+1)=x\Gamma(x), seguindo-se que \Gamma(x+1)=x! e, portanto,

\Gamma(x)=\lim_{k\to +\infty}\left\lbrack \frac{k!k^x}{x(x+1)(x+2)\cdots(x+k)}\right\rbrack

A representação integral \Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^xe^{-t} foi obtida por Euler, tendo-se inspirado no trabalho de Wallis sobre a quadratura da circunferência.

Como segundo ponto, considero aqui a expansão do binómio e algumas das suas consequências. No seu tratado sobre o triângulo aritmético, Pascal estudou a estrutura triangular de números que recebeu o seu nome. Nessa mesma obra publicou algumas das aplicações de tal estrutura, entre elas, encontrando-se a expansão do binómio com expoente inteiro positivo. De modo a determinar uma fórmula fechada para cada entrada do triângulo, Pascal observou que, sendo \binom{n}{k} o coeficiente binomial então vale a identidade

\frac{\binom{n}{k+1}}{\binom{n}{k}}=\frac{n-k}{k+1}

Como \binom{n}{0}=1, concluímos facilmente que

\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

Uma vez conhecida a fórmula para os coeficientes binomiais, não é difícil mostrar a sua validade com base nas suas propriedades. Estas propriedades podem ser usadas para obter a expansão do binómio para valores inteiros do expoente. Estas mesmas propriedades permitem mostrar a identidade de Leibniz, nomeadamente,

\frac{d^n(fg)}{dx^n}=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}\frac{d^{n-i}f}{dx^{n-i}}\frac{d^ig}{dx^i}

A generalização da expansão do binómio a quaisquer valores do expoente foi obtida por Newton com o auxílio do seu método das fluxões aliado à teoria das equações infinitas. Apresentamos agora um esboço da sua demonstração, recorrendo aos trâmites do cálculo diferencial. Seja então f(x)=(x+1)^\alpha o binómio que pretendemos expandir. Sabemos que a sua derivada, f'(x) é dada por f'(x)=\alpha(x+1)^{\alpha-1}, isto é, a função f(x) satisfaz a seguinte equação diferencial

(1+x)f'(x)-\alpha f(x)=0

sujeita à condição fronteira f(0)=1. Procuramos, portanto, escrever f(x) na forma

f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots

Se substituirmos esta fórmula na equação diferencial anterior obtemos

0=\left(a_1-\alpha a_0\right)+\left(2a_2+a_1-\alpha a_1\right)x+\left(3a_3+2a_2-\alpha a_2\right)x^2+\cdots+\left\lbrack (n+1)a_{n+1}+(n-\alpha)a_n\right\rbrack x^n+\cdots

A equação vale para qualquer valor de x se se anularem todos os coeficientes, isto é,

\left\lbrace \begin{matrix} a_1-\alpha a_0=0\\ 2a_2+(1-\alpha)a_1=0\\ 3a_3+(2-\alpha)a_2=0\\ \vdots\\ (n+1)a_{n+1}+(n-\alpha)a_n=0\\ \cdots \end{matrix} \right.

A solução do sistema proporciona-nos

a_k=\binom{\alpha}{k}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)}{k!}

e, portanto, de um modo geral,

(x+1)^\alpha=\sum_{k=0}^{+\infty}\binom{\alpha}{k}x^k

Um método semelhante permitiu ao mesmo autor obter a expansão das funções trigonométricas. Para o efeito, começou por considerar uma partícula que se move com um movimento circular uniforme ao longo de uma circunferência de raio uniátio de equação x^2+y^2=1. Sabemos que tal movimento é o resultado da sobreposição dos movimentos coordenados

\left\lbrace \begin{matrix} x=\cos t\\ y=\sin t \end{matrix} \right.

Como a partícula se move com velocidade unitária, então

\frac{ds}{dt}=1=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}

representado t, neste caso, o ângulo associado ao deslocamento da partícula medido em radianos. A derivação da equação da circunferência, x^2+y^2=1 conduz-nos a

x\frac{dx}{dt}+y\frac{dy}{dt}=0

que, substituído na equação \frac{ds}{dt}=1 resulta em

\frac{dy}{dt}=\sqrt{1-y^2}

A expansão do binómio \sqrt{1-y^2}=\left(1-y^2\right)^{\frac{1}{2}} permite-nos obter uma série para a função t=\arcsin y. Podemos, porém, obter uma expansão para y=\sin t do seguinte modo. Começamos por derivar a equação anterior, advindo

\frac{d^2y}{dt^2}=-\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\frac{dy}{dy}=-y

ou \frac{dy}{dt}+y=0. Observamos ainda que y(0)=0 e \frac{dy}{dt}(t=0)=1. Se considerarmos que

\sin t=a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3+\cdots+a_nt^n

a sua substituição na equação diferencial aliada à consideração das condições iniciais conduz-nos à expansão

\sin t=\sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}

O mesmo raciocínio poderá ser utilizado para obter a expansão

\cos t=\sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}

Como terceiro ponto, considero a fórmula de De Moivre, a qual foi originalmente obtida com o auxílio do método das fluxões com um raciocínio em muito semelhante ao que foi utilizado nas expansões consideradas no ponto anterior. De acordo com esta fórmula, temos

\left(\cos x+i\sin x\right)^n=\cos(nx)+i\sin(nx)

Esta fórmula mostra-se facilmente com o auxílio das fórmulas da soma para as funções trigonométricas

\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y

e

\sin(x+y)=\cos x\sin y+\cos y\sin x

De facto, a utilização de tais fórmulas permite-nos escrever

\left(\cos x + i\sin x\right)\left(\cos y + i\sin y\right)=\cos(x+y)+i\sin(x+y)

A aplicação recursiva da mesma, com y=x proporciona-nos o resultado enunciado. A demonstração original, apesar de ser mais complicada, permite, mais uma vez, proporcionar-nos uma aplicação do cálculo diferencial. Se definirmos y=\sin(n\theta) e x=\sin\theta, segue-se que

\frac{dy}{d\theta}=n\sqrt{1-y^2}

e

\frac{dx}{d\theta}=\sqrt{1-x^2}

de onde concluímos a expressão

\frac{dy}{dx}=\frac{n\sqrt{1-y^2}}{\sqrt{1-x^2}}

Se fizermos agora as substituições y=i\eta e x=i\xi obtemos

\frac{d\eta}{d\xi}=\frac{\sqrt{1+\eta^2}}{1+\xi^2}

Vejamos que equação diferencial satisfará a função

\varphi=\sqrt{1-\eta^2}+\eta.

Se derivarmos, obtemos a equação separável

\frac{d\varphi}{d\xi}=\frac{n\varphi}{\sqrt{1+\xi^2}}

cuja solução a escolher é aquela que satisfaz a condição \varphi(0)=1. A solução da equação diferencial proporciona-nos a solução

\varphi=\left(\sqrt{1+\xi^2}+\xi^2\right)^n

que, uma vez que \xi=i\sin\theta e \eta=i\sin(n\theta) constitui a fórmula apresentada.

No quarto ponto discutimos a fórmula de Euler de um ponto de vista histórico. No seu artigo de 1702, Bernoulli submeteu um artigo sobre a integração de fracções racionais com base na expansão em fracções parciais. Como exemplo de aplicação, observou que, da identidade,

\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{2}\frac{1}{1+ix}+\frac{1}{2}\frac{1}{1-ix}

se segue o integral

\int \frac{dx}{1+x^2}=\frac{1}{2i}\log\frac{1+ix}{1-ix}

Por outro lado, se aplicarmos a transformação x=\sqrt{1/t^2-1} ao mesmo integral obtemos

\int\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\int\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}

O autor pode observar, deste modo, uma relação entre a função logaritmo e a quadratura do círculo. Porém, coube a Euler, numa carte endereçada a Maupertuis, a aplicação do mesmo método para obter

\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\int_1^\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\frac{\pi}{4}

isto é,

\log\frac{1+i}{1-i}=\log i=i\frac{\pi}{2}

A exponenciação da identidade anterior conduz-nos à interessante fórmula

i=e^{i\frac{\pi}{2}}

A fórmula mais geral pode ser obtida a partir da conhecida expansão para a função exponencial

e^x=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}

substituindo x por ix.

Relativamente ao quinto ponto, será pertinente enveredar por um tema que é frequentemente associado à análise complexa mas que talvez tenha sido iniciado no âmbito da análise real. Estamos aqui a referir-nos à teoria dos resíduos. Nas suas lições sobre o cálculo das funções, Lagrange expos uma teoria das funções analíticas com base na expansão em série de Taylor com resto. Por exemplo, por um processo de interpolação, podemos obter

\frac{1}{i}=\frac{1}{x}-\frac{i-x}{x^2}+\frac{(i-x)^2}{x^3}-\frac{(i-x)^3}{x^4}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{(i-x)^{n-1}}{x^n}+(-1)^n\frac{(i-x)^{n+1}}{ix^n}

onde i aqui não representa a unidade imaginária. Trata-se da expansão da função f(x)=\frac{1}{x} em torno do ponto x. Facilmente constatamos que a expressão não é válida quando fazemos x=0 e dizemos que a função nesse ponto não é analítica. O autor observou que as funções habituais são analíticas em toda a parte com excepção de alguns casos pontuais. Em particular, uma função racional \frac{p(x)}{q(x)} é analítica em todos os pontos com excepção dos zeros de q(x). Suponhamos agora, como o fez Cauchy, que q(x)=(x-\alpha)^mq_1(x) onde q_1(\alpha)\ne0. Segue-se que

f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{g(x)}{(x-\alpha)^m}

onde g(x) é uma função analítica no ponto \alpha, podendo não o ser, com efeito, em outros pontos. Vale, portanto, a expansão

g(x)=g(\alpha)+g'(\alpha)(x-\alpha)+\frac{g''(\alpha)}{2!}(x-\alpha)^2+\cdots+\frac{g^{(m-1)}}{(m-1)!}(x-\alpha)^{m-1}+\psi(x)(x-\alpha)^m

sendo \psi(\alpha) assume um valor finito. Vemos, deste modo, que

f(x)=\frac{g(x)}{(x-\alpha)^m}=\psi(x)+\sum_{k=1}^m\frac{a_k}{(x-\alpha)^k}

onde

\lim_{x\to\alpha}\frac{d^{m-k}}{dx^{m-k}}\frac{(x-\alpha)^mf(x)}{(m-k)!}

É útil notar que se \beta\ne\alpha for um zero de ordem n de q(x) então

f(x)=\psi_1(x)+\sum_{k=1}^n\frac{b_k}{(x-\beta)^k}+\sum_{k=1}^m\frac{a_k}{(x-\alpha)^k}

onde os coeficientes b_k se calculam a partir de f(x) por intermédio da mesma expressão. Definimos, assim, um processo para determinar a expansão em fracções parciais de uma função racional. Porém, tal método requer a determinação de \alpha+\beta+\cdots coeficientes onde \alpha, \beta, … são as ordens dos zeros do denominador. Para simplificarmos o processo observamos que, por exemplo, o coeficiente de ordem -2 de f(x) é igual ao coeficiente de ordem -1 de (x-\alpha)f(x). Esta observação permite construir uma função h(z,x) de tal forma que, sendo a_{-1}(x) o coeficiente de ordem -1 de h(z,x) em torno do ponto z=\alpha, temos

f(x)=\psi(x)+a_{-1}(x)

Ao valor a_{-1} de f(x) damos a designação de resíduo de f(x) no ponto \alpha e denotamos por Res(f(x),x=\alpha). Mostra-se que, sendo x_i com i=1,2,\cdots,n os zeros de q(x),

f(x)=Res\left(\frac{f\left(\frac{1}{z}\right)}{z(1-xz)},z=0\right)+\sum_{i=1}^nRes\left(\frac{f(z)}{x-z},z=x_i\right)

Uma das demonstrações do teorema fundamental da álgebra consiste em mostrar que, sendo p(x) um polinómio não constante então, fazendo f(x)=\frac{1}{p(x)}, temos sempre, se considerarmos o conjunto dos números complexos,

Res\left(\frac{f\left(\frac{1}{z}\right)}{z(1-xz)},z=0\right)=0

e, portanto,

f(x)=\sum_{i=1}^nRes\left(\frac{f(z)}{x-z},z=x_i\right)

Como f(x) é não constante, deverá existir pelo menos um x_i tal que p\left(x_i\right)=0. De facto, de acordo com o teorema de Liouville, se f(x) for uma função analítica então terá de ser constante. Este teorema implica imediatamente que se p(x) não for constante então f(x) não é analítica de onde se segue que deverá existir um x_i tal que p\left(x_i\right)=0. É útil notar ainda que o teorema foi originalmente enunciado pelo autor no decurso do seu estudo das funções duplamente periódicas sobre o qual construíu a sua teoria das funções elípticas.

Como sexto ponto, não incluirei qualquer resultado mas farei alguams observações históricas que considero curisoas. Começando com Ampère, este é sobejamente conhecido pelo trabalho que desenvolveu no âmbito do electromagnetismo e, em particular, pelo seu estudo sobre o campo magnético produzido por correntes eléctricas. Dois dos seus interesses são menos conhecidos. O primeiro (vide), prende-se com a teoria que aventou, independentemente de Avogadro, sobre a constituição molecular da matéria. O segundo resume-se aos seus trabalhos em matemática. Num conjunto de artigos, trabalhou o estendeu o método das características de Monge para a resolução de equações diferenciais em derivadas parciais. Num artigo de 1806, o mesmo autor apresentou a sua teoria das funções analíticas no qual é frequentemente considerar-se ter demonstrado o resultado erróneo de que uma função contínua é diferenciável em toda a parte com a excepção de um número finito de pontos. No entanto, o objectivo do artigo prende-se com a simplificação da teoria de Lagrange das funções analíticas. O seu ponto de partida para o estabelecimento da existência da derivada de uma função é o seguinte:
Uma função da variável x advém nula ou infinita quando x tende para zero se a função diminuir ou aumentar quando x se aproxima de zero de modo que seja inferior a qualquer quantidade dada no primeiro caso e superior a qualquer quantidade dada no segundo.
Além disso, considerou que uma função não é derivável se a sua derivada for infinita. Neste caso, as funções que oscilam indefinidamente numa vizinhança do ponto, tal como \frac{1}{x}\sin\left(\frac{1}{x}\right) não poderão ser consideradas uma vez que apesar do seu valor não estar definido na origem, para qualquer quantidade dada existem sempre valores de x tais que o valor da função é inferior a essa quantidade. Além disso, o conceito de continuidade surgiria cerca de onze anos mais tarde.
Como segunda curiosidade destaco a opinião de Rolle, introdutor de um dos mais importantes teoremas em análise, que era um fervoroso crítico dessa disciplina. Este autor expos o teorema que recebe o seu nome no âmbito da teoria a que designou por método das cascatas. Este método, apesar de ser muito semelhante ao do cálculo diferencial em termos algorítmicos, distanciava-se deste em termos metafísicos. A sua refutação por parte Varignon ajudou a clarificar alguns aspectos mais obscuros do cálculo diferencial. Por outro lado, incutiu a necessidade de elevar o rigor da disciplina.
Por fim, é interessante lembrar o papel do matemático José Anastácio da Cunha que antecipou, nos seus Principios Mathematicos, alguns dos resultados que viriam, muitos anos mais tarde, a ser atribuídos a outros autores. Entre estes, refiro a noção de convergência de uma série que lhe permitiu construir um estudo rigoroso das funções exponencial e logaritmica.

Sobre Sérgio O. Marques

Licenciado em Física/Matemática Aplicada (Astronomia) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição, desenvolvo trabalho no PTC (Porto Technical Centre) - Yazaki como Administrador de bases-de-dados. Dentro o meu leque de interesses encontram-se todos os temas afins às disciplinas de Matemática, Física e Astronomia. Porém, como entusiasta, interesso-me por temas relacionados com electrónica, poesia, música e fotografia.
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