Um método de Daniel Augusto da Silva

Daniel Augusto da Silva foi um matemático português cujo trabalho foi amplamente ignorado devido ao isolamento do qual padecia a comunidade científica portuguesa dos século XIX. Um exemplo, do qual se queixou, prende-se com uma série de proposições formuladas por Darboux em mecânica racional, as quais teriam sido demonstradas pelo matemático português vinte e cinco anos antes.

Este autor trabalhou em Teoria dos Números, nomeadamente sobre a resolução de congruências binomais, tema sobre o qual se debruçaram matemáticos como Euler, Lagrange, Legendre e Gauss, apresentando os seus resultados com base num princípio deveras simples, o qual será aqui brevemente discutido. A obra onde se encontra a sua exposição intitula-se Propriedades gerais e resolução directa das congruências binomiais que se encontra publicada no Tomo I da primeira classe das Memórias da Academia Real de Ciências de Lisboa para o ano 1854.

A interiorização do seu método requer a presença de um exemplo que permita ilustrar os conceitos apresentados. Começamos com um conjunto , por exemplo, o conjunto dos números naturais. Definimos, de seguida, o subconjunto que representa o subconjunto dos elementos de que possuem a propriedade . Por exemplo, se fizermos e como sendo a propriedade “não ser divisível por 2”, temos . Representamos por os elementos que possuem simultaneamente as propriedades e e por o subconjunto dos elementos de que possuem a propriedade . Temos obviamente a identidade . Do mesmo modo, definimos como sendo o subconjunto dos elementos de que não possuem a propriedade e como sendo o subconjunto de elementos de que simultaneamente não possuem as propriedades e . Aqui também vale a identidade .

Existe uma interessante relação entre os dois tipos de subconjuntos. De facto, temos

onde representa o conjunto dos elementos de que não pertencem a . Escrevemos a identidade do seguinte modo:

Esta operação, da forma como é aqui apresentada, adquire um aspecto puramente formal. Por exemplo, se e for a propriedade “é disvisível por 2” então

Com base nesta notação temos

e, de um modo geral,

É importante notar que, se for uma função aditiva dos subconjuntos disjuntos de , isto é, se for tal que, sendo e dois subconjuntos de tal modo que então , o mesmo raciocínio conduz-nos ao resultado

onde usamos o formalismo

Como exemplo, consideramos a função que nos fornece a contagem dos elementos de um conjunto. Seja agora o conjunto dos números entre 1 e , onde admite a factorização em números primos . O conjunto de todos os números menores que que são primos com pode ser definido como sendo o conjunto de todos os números menores que que não são divisíveis por , nem por , nem por , etc. Como , , , … são primos entre si, temos

Não é preciso muito esforço de raciocínio para chegarmos à expressão

Eis a famosa função totiente de Euler deduzida de uma forma assaz simples.

Este método generaliza-se ao cálculo da soma onde percorre todos os valores menores que   e primos com ele. A ideia é inteiramente semelhante, isto é, analisando , o subconjunto de dos números que são divisíveis por . Consideramos agora a soma

isto é, a soma dos elementos do conjunto . Sejam

as somas de todos os números que não são divisíveis por . A expressão dada pelo autor supracitado continua a ser válida neste contexto e temos, para a soma destes números,

Lembramos que a fórmula para a soma da série aritmética vale

Como todos os são primos entre si, segue-se que, por exemplo,

As fórmulas são muito semelhantes para as restantes combinações. Se utilizarmos a nossa fórmula para a negação das propriedades, vemos que a soma de todos os números do conjunto que não são divisíveis por nenhum dos é dada por

Encontrámos, deste modo, uma relação entre a função totiente e a soma de todos os números primos menores que e primos com ele. Convém enfatizar o facto de que a teoria de conjuntos foi introduzida por Cantor a partir de 1872 e como este conceito, de um modo ligeiro, foi utilizado por Augusto da Silva.