Os polinómios ortogonais e as funções trigonométricas

Sabe-se da teoria das séries trigonométricas e não é muito difícil de demonstrar por intermédio do cálculo que valem as relações de ortogonalidade para as funções trigonométricas

$\begin{array}{l}\int_{-\pi}^{0}{\cos\left(nx\right)\cos\left(mx\right)dx}=\left\lbrace\begin{array}{ll}\frac{\pi}{2}, & m=n\\ 0, & m\ne n\end{array}\right.\\ \int_{-\pi}^0{\sin\left(nx\right)\sin\left(mx\right)dx}=\left\lbrace\begin{array}{ll}\frac{\pi}{2}, & m=n\\ 0, & m\ne n\end{array}\right.\\ \int_{-\pi}^{0}{\cos(nx)\sin(mx)dx}=0\end{array}$

Por seu turno, no artigo Aproximação simultânea dos senos dos ângulos que resultam da divisão do ângulo recto em partes iguais, foi observado que existem polinómios de grau $n$ , que aqui serão designados por $T_n(x)$ , tal que

$T_n\left(\cos\theta\right)=\cos(n\theta)$

Torna-se evidente que, das relações de ortogonalidade para as funções trigonométricas, se seguem relações de ortogonalidade para os polinómios $T_n$ . A forma para os polinómios $T_n$ pode ser obtida por intermédio do método apresentado no artigo supracitado. Porém, será aqui seguida uma abordagem em linha com o que foi feito no artigo Introdução aos polinómios ortogonais, recorrendo, em particular, à família de equações diferenciais que estes obedecem.

As funções trigonométricas satisfazem a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes da forma

$\frac{d^2y}{d\theta^2}+n^2y=0$

A sua solução geral é dada por

$y=A\cos(n\theta)+B\sin(n\theta)$

A solução particular $y=\cos(n\theta)$ é a que satisfaz as condições iniciais $y(0)=1$ . Por seu turno a solução particular $y=\sin(n\theta)$ é a que satisfaz $y'(0)=n$ . Considera-se a substituição $x=\cos\theta$ . Ora, como

$\frac{dy}{d\theta}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{d\theta}=-\sin\theta\frac{dy}{dx}$

então

$\frac{d^2y}{d\theta^2}=-\cos\theta\frac{dy}{dx}+\sin^2\theta\frac{d^2y}{dx^2}$

ou, atendendo a que $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ , se tem

$\frac{d^2y}{d\theta^2}=\left(1-x^2\right)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}$

A substituição na equação diferencial proporciona

$\left(1-x^2\right)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}+n^2y=0$

Se se derivar a equação anterior $m$ vezes obtém-se

$\left(1-x^2\right)\frac{d^2y^{(m)}}{dx^2}-\left(2m+1\right)\frac{dy^{(m)}}{dx}+(n-m)(n+m)y^{(m)}=0$

Esta família de equações proporciona uma família de polinómios ortogonais que coincide com os pretendidos quando se considera $m=0$ . Aqui, $y^{(m)}$ constitui uma forma alternativa de representar a derivada de ordem $m$ de $y$ . Se a solução geral da família de equações diferenciais for denotada por $Y_{n,m}$ então, sendo a sua derivada de ordem $k$ solução da equação correspondente da família, então

$\frac{d^kY_{n,m}}{dx^k}=\alpha_{knm}Y_{n,m+k}$

onde $\alpha_{knm}$ é uma constante em $x$ mas que dependerá dos parâmetros. Sabe-se, pelo que foi atrás observado, que cada equação da família possui uma solução polinomial se $n$ e $m\le n$ forem números inteiros não negativos. Com efeito, suponha-se que a solução geral é dada por

$Y_{n,m}=\sum_{k=0}^\infty{a_kx^k}$

A sua substituição na equação diferencial conduz à identidade

$\sum_{k=0}^\infty{\left((k+2)(k+1)a_ {k+2}-(n+m+k)(n-m-k)a_k\right)x^k}=0$

que se verifica para para todos os valores de $x$ se se verificar a relação de recorrência

$a_{k+2}=\frac{(n+m+k)(n-m-k)}{(k+2)(k+1)}a_k$

A aplicação da fórmula de recorrência permite concluir que a solução geral da equação diferencial é dada pelas séries

$Y_{n,m}=a_0\sum_{k=0}^\infty{\frac{\left(\frac{n+m}{2}+k-1\right)_k\left(\frac{n-m}{2}\right)_k}{(2k)!}(2x)^{2k}}+\frac{a_1}{2}\sum_{k=0}^\infty{\frac{\left(\frac{n+m+1}{2}+k-1\right)_k}{\left(\frac{n-m-1}{2}\right)_k}(2x)^{2k+1}}$

onde se define

$(x)_n=\left\lbrace\begin{array}{ll}1, & n=0\\ x(x-1)\cdots (x-n+1), & n>0\end{array}\right.$

É claro que uma das séries que proporcionam soluções particulares se reduz a um polinómio se $n$ e $m\le n$ forem inteiros não negativos. Com efeito, existe solução polinomial particular desde que $n+m\le 0$ ou $n-m\ge 0$ . Os métodos apresentados no artigo Introdução aos polinómios ortogonais servem o propósitos gerais para este caso. Ora, a equação diferencial

$\left(1-x^2\right)\frac{d^2y^{(m)}}{dx^2}-\left(2m+1\right)\frac{dy^{(m)}}{dx}+(n-m)(n+m)y^{(m)}=0$

admite a representação

$\frac{d}{dx}\left(\left(1-x^2\right)^{\frac{2m+1}{2}}\frac{dy^{(m)}}{dx}\right)+(n-m)(n+m)\left(1-x^2\right)^{\frac{2m-1}{2}}y^{(m)}=0$

e da qual se seguem as duas soluções triviais

$Y_{n,n}=B+A\int{\frac{dx}{\left(1-x^2\right)^{\frac{2n+1}{2}}}}$

$Y_{n,-n}=B+A\int{\left(1-x^2\right)^{\frac{2n-1}{2}}dx}$

Por outro lado, da equação diferencial segue-se a identidade

$\frac{d}{dx}\left(\left(1-x^2\right)^{\frac{2m+1}{2}}\frac{dY_{n,m}}{dx}\right)=-(n-m)(n+m)\left(1-x^2\right)^{\frac{2m-1}{2}}Y_{n,m}$

Se se derivar a equação obtém-se

$\frac{d^2}{dx^2}\left(\left(1-x^2\right)^{\frac{2m+1}{2}}\frac{dY_{n,m}}{dx}\right)=(n-m)(n+m)\frac{d}{dx}\left(\left(1-x^2\right)^{\frac{2m-1}{2}}Y_{n,m}\right)$

que, considerando a mesma equação, agora com $m-1$ no lugar de $m$ permite escrever

$\frac{d^2}{dx^2}\left(\left(1-x^2\right)^{\frac{2m+1}{2}}\frac{dY_{n,m}}{dx}\right)=(n-m+1)_2(n+m)_2\left(1-x^2\right)^{\frac{2m-3}{2}}Y_{n,m-1}$

A sucessiva derivação conduz à equação

$\frac{d^k}{dx^k}\left(\left(1-x^2\right)^{\frac{2m+1}{2}}\frac{dY_{n,m}}{dx}\right)=(n-m+k-1)_k(n+m)_k\left(1-x^2\right)^{\frac{2m-2k+1}{2}}Y_{n,m-k+1}$

Faz-se $m=n-1$ e $k=n-m$ na equação anterior, vindo

$\frac{d^{n-m}}{dx^{n-m}}\left(\left(1-x^2\right)^{\frac{2n-1}{2}}\frac{dY_{n,n-1}}{dx}\right)=(n-m)_{n-m}(2n-1)_{n-m}\left(1-x^2\right)^{\frac{2n-3}{2}}Y_{n,m}$

que, como

$\frac{dY_{n,n-1}}{dx}=\alpha_{1,n,n-1}Y_{n,n}=A+B\int{\frac{dx}{\left(1-x^2\right)^{\frac{2n-1}{2}}}}$

se conclui que a solução geral é dada por

$Y_{n,m}=\frac{1}{\left(1-x^2\right)^{\frac{2m-1}{2}}}\frac{d^{n-m}}{dx^{n-m}}\left(\left(1-x^2\right)^{\frac{2n-1}{2}}\left(A+B\int{\frac{dx}{\left(1-x^2\right)^{\frac{2n-1}{2}}}}\right)\right)$

Com $A=1$ e $B=0$ obtém-se a solução

$C_{n,m}=\frac{1}{\left(1-x^2\right)^{\frac{2m-1}{2}}}\frac{d^{n-m}}{dx^{n-m}}\left(1-x^2\right)^{\frac{2n-1}{2}}$

Mostra-se que se trata efectivamente da solução polinomial. Para o efeito, mostrar-se-á, em primeiro lugar, que

$\frac{d^k}{dx^k}\left(1-x^2\right)^\alpha=\left\lbrace\begin{array}{ll}\sum_{i=0}^{\frac{k}{2}}{a_{k,i}\left(1-x^2\right)^{\alpha-\frac{k}{2}-i}}, & k\ \text{par}\\ x\sum_{i=0}^{\frac{k-1}{2}}{b_{k,i}\left(1-x^2\right)^{\alpha-\frac{k+1}{2}-i}}, & k\ \text{impar}\end{array}\right.$

onde $a_{k,i}$ e $b_{k,i}$ são constantes. Não é difícil provar, derivando a função, que a expressão anterior vale para $k=0$ se se fizer $a_{0,0}=1$ . Supondo que vale para $k$ , a derivação da expressão resulta num sistema idêntico com $k+1$ desde que sejam satisfeitas as relações

$\left\lbrace\begin{array}{ll}b_{k+1,i}=-(2\alpha-k-2i)a_{k,i}, & i=0,\cdots,\frac{k}{2}\\ a_{k+1,0}=(2\alpha-k)b_{k,0} & \\ a_{k+1,\frac{k+1}{2}}=-(2\alpha-2k)b_{k,\frac{k-1}{2}} & \\ a_{k+1,i}=(2\alpha-k-2i)b_{k,i}-(2\alpha-k-2i+1)b_{k,i-1}, & i=1,\cdots, \frac{k-1}{2}\end{array}\right.$

É possível determinar uma forma fechada para as constantes quando $\alpha\ge 2\beta$ . Com efeito, mostra-se que as derivadas admitem a expansão

$\frac{d^{2\beta}}{dx^{2\beta}}\left(1-x^2\right)^\alpha=2^{2\beta}\sum_{i=0}^\beta{(-1)^{\beta+i}\binom{\beta}{\beta-i}\frac{\alpha!}{(\alpha-\beta-i)!}\frac{\Gamma(\alpha-i+\frac{1}{2})}{\Gamma(\alpha-\beta+\frac{1}{2})}\left(1-x^2\right)^{\alpha-\beta-i}}$

$\frac{d^{2\beta+1}}{dx^{2\beta+1}}\left(1-x^2\right)^\alpha=-2^{2\beta+1}x\sum_{i=0}^\beta{(-1)^{\beta+i}\binom{\beta}{\beta-i}\frac{\alpha!}{(\alpha-beta-i-1)!}\frac{\Gamma(\alpha-i+\frac{1}{2})}{\Gamma(\alpha-\beta+\frac{1}{2})}\left(1-x^2\right)^{\alpha-\beta-i-1}}$

Assim, caso $n-m$ seja um número par então

$C_{n,m}=2^{2\beta}\sum_{i=0}^\beta{(-1)^{\beta+i}\binom{\beta}{\beta-i}\frac{\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(\beta+m+\frac{1}{2}-i\right)}\frac{(n-i-1)!}{(n-\beta-1)!}\left(1-x^2\right)^{\beta-i}}$

onde

$\beta=\frac{n-m}{2}$

No caso em que $n-m$ é ímpar, faz-se

$\beta=\frac{n-m-1}{2}$

de modo que

$C_{n,m}=-2^{2\beta+1}x\sum_{i=0}^\beta{(-1)^{\beta+i}\binom{\beta}{\beta-i}\frac{\Gamma\left(\frac{2n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\beta+m+\frac{1}{2}-i\right)}\frac{(n-i-1)!}{(n-\beta-1)!}\left(1-x^2\right)^{\beta-i}}$

Note-se que, fazendo $i=0$ , se pode verificar directamente que o termo de maior grau de $C_{n,m}$ é igual a

$(-1)^{n-m}\frac{(2n-1)!}{(n+m-1)!}x^{n-m}$

Segue-se daqui que o termo de maior grau de

$\frac{d^k}{dx^k}C_{n,m}$

é igual a

$(-1)^{n-m}\frac{(2n-1)!}{(n+m-1)!}\frac{(n-m)!}{(n-m-k)!}x^{n-m-k}$

A comparação dos termos de maior grau na identidade

$\frac{d^k}{dx^k}C_{n,m}=\alpha_ {nmk}C_{n,m+k}$

permite concluir que

$\alpha_{nmk}=(-1)^k\frac{(n+m+k-1)!(n-m)!}{(n+m-1)!(n-m-k)!}$

e, portanto,

$\frac{d^k}{dx^k}C_{n,m}=(-1)^k\frac{(n+m+k-1)!(n-m)!}{(n+m-1)!(n-m-k)!}C_{n,m+k}$

A representação obtida para os polinómios $C_{n,m}$ vale apenas para o caso em que $m\le n$ e $n\ge 0$ . É possível obter uma representação alternativa. Para isso, é necessário determinar a segunda solução independente de uma equação diferencial linear de segunda ordem, conhecida uma solução. Considere-se a equação diferencial linear de segunda ordem dada por

$\phi(x)\frac{d^2y}{dx^2}+\psi(x)\frac{dy}{dx}+\chi(x)y=0$

da qual se supõe conhecida a solução $\omega(x)$ . Faz-se $y=\omega z$ , vindo

$\phi\omega\frac{d^2z}{dx^2}+\left(2\phi\frac{d\omega}{dx}+\psi\omega\right)\frac{dz}{dx}+\left(\phi\frac{d^2\omega}{dx^2}+\psi\frac{d\omega}{dx}+\chi\omega\right)z=0$

Sendo $\omega$ solução da equação diferencial, a equação anterior reduz-se a

$\phi\omega\frac{d^2z}{dx^2}+\left(2\phi\frac{d\omega}{dx}+\psi\omega\right)\frac{dz}{dx}=0$

Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem em $z'$ cuja solução facilmente se determina como

$z=A+B\int{\frac{dx}{e^{\int{\left(\frac{2}{\omega}\frac{d\omega}{dx}+\frac{\psi}{\omega}\right)dx}}}}$

A solução geral da equação diferencial original escrever-se-á como

$y=A\omega+B\omega\int{\frac{dx}{\omega^2e^{\int{\frac{\psi}{\phi}dx}}}}$

De acordo com o que foi atrás exposto,

$Y_{n,-n+1}=\frac{dY_{n,-n}}{dx}=A(1-x^2)^{\frac{2n-1}{2}}$

em que $A$ não depende de $x$ . A função $Y_{n,-n+1}$ assim determinada satisfaz a equação diferencial, considerando $m=1-n$ ,

$\left(1-x^2\right)\frac{d^2y}{dx^2}+(2n-3)x\frac{dy}{dx}+(2n-1)y=0$

A solução geral é dada por

$Y_{n,1-n}=\left(1-x^2\right)^{\frac{2n-1}{2}}\left(A+B\int{\frac{dx}{\left(1-x^2\right)^{\frac{2n+1}{2}}}}\right)$

e a polinomial será da forma

$C_{n,1-n}=A\left(1-x^2\right)^{\frac{2n-1}{2}}\int{\frac{dx}{\left(1-x^2\right)^{\frac{2n+1}{2}}}}$

Com efeito, do método de integração por partes, resulta

$\int{\frac{dx}{\left(1-x^2\right)^n}}=\frac{1}{2n+2}\frac{x}{\left(1-x^2\right)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2n-2}\int{\frac{dx}{\left(1-x^2\right)^n}}$

A iteração da fórmula conduz à expressão

$\int{\frac{dx}{\left(1-x^2\right)^n}}=x\sum_{i=0}^{n-1}{A_i\left(1-x^2\right)^i}$

que é polinomial de grau $2n+1$ . Como

$Y_{n,m}=\frac{d^{n+m-1}}{dx^{n+m-1}}Y_{n,1-n}$

a comparação das soluções polinomiais permite concluir que

$C_{n,m}=\frac{1}{\left(1-x^2\right)^{\frac{2m-1}{2}}}\frac{d^{n-m}}{dx^{n-m}}\left(1-x^2\right)^{\frac{2n-1}{2}}=\alpha_{nm}\frac{d^{n+m-1}}{dx^{n+m-1}}\left(\left(1-x^2\right)^{\frac{2n-1}{2}}\int{\frac{dx}{\left(1-x^2\right)^{\frac{2n+1}{2}}}}\right)$

Com $m=1-n$ , a expressão anterior reduz-se a

$\int{\frac{dx}{\left(1-x^2\right)^{\frac{2n+1}{2}}}}=\beta\frac{d^{2n-1}}{dx^{2n-1}}\left(1-x^2\right)^{\frac{2n-1}{2}}$

para algum $\beta$ constante. Se se derivar a expressão vem

$\frac{1}{\left(1-x^2\right)^{\frac{2n+1}{2}}}=\beta\frac{d^{2n}}{dx^{2n}}\left(1-x^2\right)^{\frac{2n-1}{2}}$

A aplicação da regra da derivada acima obtida e comparação do termo em $1-x^2$ permite obter $\beta$ , vindo, finalmente

$\int{\frac{dx}{\left(1-x^2\right)^{\frac{2n+1}{2}}}}=(-1)^n\left(\frac{2^nn!}{(2n)!}\right)^2\frac{d^{2n-1}}{dx^{2n-1}}\left(1-x^2\right)^{\frac{2n-1}{2}}$

A substituição na equação anterior permite escrever a representação

$C_{n,m}=\gamma\frac{d^{n+m-1}}{dx^{n+m-1}}\left(\frac{1}{\left(1-x^2\right)^{\frac{2n-1}{2}}}\frac{d^{2n-1}}{dx^{2n-1}}\left(1-x^2\right)^{\frac{2n-1}{2}}\right)$

em que $\gamma$ pode ser obtido, comaparando os termos de maior grau em ambos os membros da equação. Assim,

$C_{n,m}=(-1)^{n-m-1}\frac{(n-m)!}{(2n-1)!(n+m-1)!}\frac{d^{n+m-1}}{dx^{n+m-1}}\left(\frac{1}{\left(1-x^2\right)^{\frac{2n-1}{2}}}\frac{d^{2n-1}}{dx^{2n-1}}\left(1-x^2\right)^{\frac{2n-1}{2}}\right)$

No que se segue serão investigadas as relações de ortogonalidade. De modo a facilitar a exposição, define-se

$P_{n,m}=\frac{d^mC_{n,0}}{dx^m}=(-1)^m\frac{n(n+m-1)!}{(n-m)!}C_{n,m}$

Estes polinómios satisfazem a equação diferencial

$\frac{d}{dx}\left(\left(1-x^2\right)^{\frac{2m+1}{2}}\frac{dP_{n,m}}{dx}\right)+(n-m)(n+m)\left(1-x^2\right)^{\frac{2m-1}{2}}P_{n,m}=0$

Por seu turno, $P_{\nu,m}$ satisfaz a equação da família

$\frac{d}{dx}\left(\left(1-x^2\right)^{\frac{2m+1}{2}}\frac{dP_{\nu,m}}{dx}\right)+(\nu-m)(\nu+m)\left(1-x^2\right)^{\frac{2m-1}{2}}P_{\nu,m}=0$

Multiplicando a primeira equação por $P_{\nu,m}$ , a segunda por $P_{n,m}$ , subtraindo uma da outra e atendendo ao facto de que o método de integração por partes permite escrever

$\int_{-1}^1{P_{\nu,\mu}\frac{d}{dx}\left(\left(1-x^2\right)^{\frac{2m+1}{2}}\frac{dP_{n,m}}{dx}\right)dx}=-\int_{-1}^1{\left(1-x^2\right)^{\frac{2m+1}{2}}\frac{dP_{n,m}}{dx}\frac{dP_{\nu,\mu}}{dx}dx}$

obtém-se a relação

$(n-\nu)(n+\nu-m)\int_{-1}^1{\left(1-x^2\right)^{\frac{2m-1}{2}}P_{n,m}P_{\nu,m}dx}=0$

e, portanto, se $n\ne\nu$ ,

$\int_{-1}^1{\left(1-x^2\right)^{\frac{2m-1}{2}}P_{n,m}P_{\nu,m}dx}=0$

Para determinar o valor da integral no caso em que $n=\nu$ , multiplica-se a equação

$\frac{d}{dx}\left(\left(1-x^2\right)^{\frac{2m+1}{2}}\frac{dP_{n,m}}{dx}\right)+(n-m)(n+m)\left(1-x^2\right)^{\frac{2m-1}{2}}P_{n,m}=0$

por $P_{n,m}$ e integra-se por partes para se obter

$\int_{-1}^1{\left(1-x^2\right)^{\frac{2m+1}{2}}\left(P_{n,m+1}\right)^2dx}=(n-m)(n+m)\int_{-1}^1{\left(1-x^2\right)^{\frac{2m-1}{2}}P_{n,m}}$

Lembre-se que, de acordo com a definição de $P_{n,m}$ , se tem automaticamente $P_{n,m}'=P_{n,m+1}$ . A interação da expressão anterior conduz ao resultado

$\int_{-1}^1{\left(1-x^2\right)^{\frac{2m-1}{2}}\left(P_{n,m}\right)^2dx}=\frac{n(n+m-1)!}{(n-m)!}\int_{-1}^1{\left(1-x^2\right)^{-\frac{1}{2}}\left(P_{n,0}\right)^2dx}$

Se se fizer $m=n$ nesta última expressão vem

$\int_{-1}^1{\left(1-x^2\right)^{-\frac{1}{2}}\left(P_{n,0}\right)^2dx}=\frac{2}{(2n)!}\left(P_{n,n}\right)^2\int_{-1}^1{\left(1-x^2\right)^{\frac{2n-1}{2}}dx}$

uma vez que $P_{n,n}$ é constante e obtém-se, derivando o coeficiente de maior grau de $C_{n,0}$ . Então

$\int_{-1}^1{\left(1-x^2\right)^{\frac{2n-1}{2}}\left(P_{n,0}\right)dx}=\frac{(2n)!}{2}\int_{-1}^1{\left(1-x^2\right)^{\frac{2n-1}{2}}dx}$

A iteração do método de integração por partes permite calcular

$\int_{-1}^1{\left(1-x^2\right)^{\frac{2n-1}{2}}dx}=\frac{2^{2n}\Gamma^2\left(\frac{2n+1}{2}\right)}{(2n)!}$

A substituição na fórmula anterior permite determinar a integral em $P_{n,0}$ que, quando substituído na equação precedente conduz ao resultado pretendido. As relações de ortogonalidade são, portanto, dadas por

$\int_{-1}^1{\left(1-x^2\right)^{\frac{2m-1}{2}}P_{n,m}P_{\nu,m}dx}=\left\lbrace\begin{array}{ll}2^{2n-1}\frac{n(n+m-1)!}{(n-m)!}\left(\frac{(2n)!}{2^{2n}n!}\right)^2\pi, & n=\nu\\ 0, & n\ne \nu\end{array}\right.$

ou, em termos dos $C_{n,m}$ ,

$\int_{-1}^1{\left(1-x^2\right)^{\frac{2m-1}{2}}C_{n,m}C_{\nu,m}dx}=\left\lbrace\begin{array}{ll}2^{2n-1}\frac{(n-m)!}{n(n+m-1)!}\left(\frac{(2n)!}{2^{2n}n!}\right)^2\pi, & n=\nu\\ 0, & n\ne \nu\end{array}\right.$

Determinam-se agora as relações de recorrência para os polinómios $C_{n,m}$ . Não é difícil determinar que

$\left\lbrace\begin{array}{l}C_{n,n}=1\\ C_{m+1,m}=-(2m+1)x\end{array}\right.$

Da definição de $C_{n,m}$ segue-se, calculando uma das derivadas,

$C_{n,m}=-\frac{2n-1}{\left(1-x^2\right)^{\frac{2m-1}{2}}}\frac{d^{n-m-1}}{dx^{n-m-1}}\left(x\left(1-x^2\right)^{\frac{2n-3}{2}}\right)$

Calculando mais uma derivada interna e atendendo ao facto de que $x^2=1-\left(1-x^2\right)$ , obtém-se

$C_{n,m}=-(2n-1)(2n-2)\left(1-x^2\right)C_{n-1,m+1}+(2n-1)(2n-3)C_{n-2,m}$

Se, ao invés de calcular uma derivada interna adicional, se aplicar a regra do produto para a derivada de ordem $n-m-1$ , fica-se com

$C_{n,m}=-(2n-1)xC_{n-1,m}-(n-m-1)(2n-1)\left(1-x^2\right)C_{n-1,m+1}$

A eliminação do termo $C_{n-1,m+1}$ de ambas as equações permite escrever a relação de recorrência

$\left\lbrace\begin{array}{l}C_{m,m}=1\\ C_{m+1,m}=-(2m+1)x\\ C_{n,m}=-\frac{(2n-1)(2n-2)}{n+m-1}xC_{n-1,m}-\frac{(n-m-1)(2n-1)(2n-3)}{n+m-1}C_{n-2,m}\end{array}\right.$

Desta relação de recorrência obtêm-se alguns resultados de interesse. Se se fizer $x=0$ , permite obter a recorrência para o valor de $C_{n,m}(0)$ , nomeadamente,

$\left\lbrace\begin{array}{l}C_{m,m}(0)=1\\ C_{m+1,m}(0)=0\\ C_{n,m}(0)=-\frac{(n-m-1)(2n-1)(2n-3)}{n+m-1}C_{n-2,m}\end{array}\right.$

Segue daqui que, para $n$ ímpar, $C_{m+n,m}(0)=0$ e, para $n$ par,

$C_{m+n,m}(0)=(-1)^{\frac{n}{2}}\frac{n!}{\left(\frac{n}{2}\right)!}\frac{\Gamma\left(\frac{2n+2m+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+2m+1}{2}\right)}$

Do mesmo modo,

$\left\lbrace\begin{array}{l}C_{m+n,m}(1)=(-1)^n2^n\frac{\Gamma\left(\frac{2n+2m+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{2m+1}{2}\right)}\\ C_{m+n,m}(-1)=2^n\frac{\Gamma\left(\frac{2n+2m+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{2m+1}{2}\right)}\end{array}\right.$

Da relação de recorrência também segue o coeficiente $G_{n,m}$ do termo de maior grau de $C_{n,m}$ , já calculado anteriormente, isto é,

$G_{m+n,m}=\frac{\left(2(m+n)-1\right)!}{(n+2m-1)!}$

Os polinómios mónicos definidos por

$U_{n,m}=(-1)^{n-m}\frac{(n+m-1)!}{(2n-1)!}C_{n,m}$

com $m>0$ satisfazem as relações de recorrência

$\left\lbrace\begin{array}{l}U_{m,m}=1\\ U_{m+1,m}=x\\ U_{n,m}=xU_{n-1,m}-\frac{(n-m-1)(n+m-2)}{4(n-1)(n-2)}U_{n-2,m}\end{array}\right.$

No caso particular de $m=0$ , define-se

$U_n=(-1)^n\frac{2n!}{(2n)!}C_{n,0}$

se $n>0$ e $U_0=1$ se $n=0$ . A relação de recorrência para este caso assume a forma

$\left\lbrace\begin{array}{l}U_0=1\\ U_1=x\\ U_2=xU_1-\frac{1}{2}U_0\\ U_n=xU_{n-1}-\frac{1}{4}U_{n-2}\end{array}\right.$

Desta recorrência seguem-se facilmente dois resultados. Relativamente ao primeiro, observa-se que

$\left\lbrace\begin{array}{l}xU_0=U_1\\ xU_1=U_2+\frac{1}{2}U_0\\ xU_n=U_{n+1}+\frac{1}{4}U_{n-1}\end{array}\right.$

Esta identidade permite escrever sucessivamente

$\begin{array}{l}x^0=U_0\\ x^1=U_1\\ x^2=xU_1=U_2+\frac{1}{2}U_0\\ x^3=xU_2+\frac{1}{2}xU_0=U_3+\frac{3}{4}U_1\\ x^4=U_4+\frac{4}{4}U_2+\frac{6}{16}U_0\\ x^5=U_5+\frac{5}{4}U_3+\frac{10}{16}U_1\\ \vdots\end{array}$

O método da indução permite mostrar a identidade

$x^n=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}{\binom{n}{k}2^{n-2k}U_{n-2k}}$

Aqui, $\lfloor x\rfloor$ representata o maior inteiro menor ou igual a $x$ . Defina-se o polinómio

$H_n(x)=\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}{\binom{n}{k}x^{n-2k}}$

de modo que, substituindo $x^i$ por $U_i$ em $H_n(2x)$ recupera-se a expansão de $(2x)^n$ . Observe-se que os coeficientes binomiais dos polinómios satisfazem determinadas recursões. Por exemplo, para o caso par, em que $n=2m$ , tem-se

$\left\lbrace\begin{array}{l}a_0=\binom{2m}{m}\\ a_{r+2}=\frac{2m-r}{2m+2+r}\end{array}\right.$

O caso ímpar é muito semelhante. Por um processo inverso ao da determinação de soluções de equações diferenciais como soma em série de potências, verifica-se que os polinómios satisfazem as equações diferenciais

$\left\lbrace\begin{array}{ll}x\left(x^2+1\right)\frac{dH_n}{dx}+n\left(1-x^2\right)H_n=n\binom{n}{\frac{n}{2}}, & n\ \text{par}\\ x\left(x^2+1\right)\frac{d}{dx}\left(\frac{H_n}{x}\right)+\left(n+1-(n-1)x^2\right)\frac{H_n}{x}=(n+1)\binom{n}{\frac{n-1}{2}}, & n\ \text{impar}\end{array}\right.$

Aplica-se a transformação $y=x^2$ e deriva-se em ordem a $y$ para obter

$\left\lbrace\begin{array}{l}y(y+1)\frac{d^2H_{2m}}{dy^2}+\left((2-m)y+m+1\right)\frac{dH_{2m}}{dy}-mH_{2m}=0\\ 2y(y+1)\frac{d^2}{dy^2}\left(\frac{H_{2m+1}}{\sqrt{y}}\right)+\left((2-m)y+m+2\right)\frac{d}{dy}\left(\frac{H_{2m+1}}{\sqrt{y}}\right)-m\frac{H_{2m+1}}{\sqrt{y}}=0\end{array}\right.$

Os procedimentos atrás apresentados para determinar as soluções polinomiais das equações que conduzem aos polinómios ortogonais permitem obter, notando que estes devem ser mónicos, os polinómios $H_n(x)$ na forma

$\left\lbrace\begin{array}{l}H_{2m}(x)=\frac{1}{m!}\left\lbrack \frac{(\chi+1)^{2m}}{\chi^m}\frac{d^m}{dx^m}\left(\frac{\chi^{2m}}{(\chi+1)^m}\right)\right\rbrack_{\chi=x^2}\\ H_{2m+1}(x)=\frac{x}{m!}\left\lbrack\frac{(\chi+1)^{2m+1}}{\chi^{m+1}}\frac{d^m}{d\chi^m}\left(\frac{\chi^{2m+1}}{(\chi+1)^{m+1}}\right)\right\rbrack_{\chi=x^2}\end{array}\right.$

de modo que, substituindo $x^i$ por $U_i$ em $H_n(2x)$ , se determina a expansão de $(2x)^n$ nesses polinómios.

O outro resultado importante que pode ser obtido das relações de recorrência

$\left\lbrace\begin{array}{l}U_0=1\\ U_1=x\\ U_2=xU_1-\frac{1}{2}U_0\\ U_n=xU_{n-1}-\frac{1}{4}U_{n-2}\end{array}\right.$

é a forma para a função geradora. Se esta for escrita como

$F=\sum_{n=0}^{\infty}{U_nt^n}$

então não é um exercício muito difícil mostrar que, considerando as relações de recorrência, se tem

$\left(\frac{1}{4}t^2-xt+1\right)F=1-\frac{t^2}{4}$

de onde segue automaticamente a forma para a função geradora para os polinómios mónicos

$F=\frac{4-t^2}{t^2-4xt+4}=\sum_{n=0}^{\infty}{U_nt^n}$

Ora, não é difícil determinar que $U_0(1)=1$ e $U_n(1)=2^{-(n-1)}$ . Se se definirem os polinómios $T_0=U_0$ e, para $n>0$ ,

$T_n=2^{n-1}U_n$

então, considerando a solução da equação diferencial em termos das funções trigonométricas e respectivas condições iniciais, tem-se

$T_n\left(\cos\theta\right)=\cos n\theta$

Se se substituir $t$ por $2t$ na função geradora e compensando a diferença na definição de $T_0$ , daí resulta

$\frac{1-t^2}{t^2-2xt+1}=1+2\sum_{n=1}^\infty{T_nt^n}$

Segue-se que

$\frac{1-xt}{t^2-2xt+1}=\sum_{n=0}^\infty{T_nt^n}$

Se se decompor a função racional do lado esquerdo em fracções parciais obtém-se

$\frac{1-xt}{t^2-2xt+1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-t_1t}+\frac{1}{t-t_2t}\right)$

em que se fez, para abreviar,

$\left\lbrace\begin{array}{l}t_1=x+i\sqrt{1-x^2}\\ t_2=x-i\sqrt{1-x^2}\end{array}\right.$

A expansão das séries geométricas, por um lado, e a consideração da função geradora permite concluir

$T_n=\frac{\left(x+i\sqrt{1-x^2}\right)^n+\left(x-i\sqrt{1-x^2}\right)^n}{2}$

Com efeito, fazendo $x=\cos\theta$ , obtém-se o conhecido resultado das séries trigonométricas, nomeadamente,

$\cos n\theta=\frac{\left(\cos\theta +i\sin\theta\right)^n+\left(\cos\theta -i\sin\theta\right)^n}{2}$

Da observação de que

$1-x=\frac{1}{2}\left(\sqrt{-x-i\sqrt{1-x^2}}+\sqrt{-x+i\sqrt{1-x^2}}\right)^2$

e como

$\left(x+i\sqrt{1-x^2}\right)\left(x-i\sqrt{1-x^2}\right)=1$

conduz ao resultado

$(1-x)^n=\frac{1}{2^n}\binom{2n}{n}+\frac{1}{2^{n-1}}\sum_{k=1}^n{\binom{2n}{n-k}T_k}$

Sabe-se que $C_{n,m}$ é uma solução polinomial da equação diferencial

$\left(1-x^2\right)\frac{d^2y}{dx^2}-(2m+1)x\frac{dy}{dx}+(n+m)(n-m)y=0$

A transformação

$y=\left(1-x^2\right)^{-\frac{2m-1}{2}}w$

resulta na equação diferencial para $w$ na forma

$\left(1-x^2\right)\frac{d^2w}{dx^2}-\left(2(1-m)+1\right)x\frac{dw}{dx}+(n+1-m)(n-1+m)w=0$

cuja solução é dada por $C_{n,1-m}$ e obtém-se de qualquer uma das representações acima apresentada, fazendo $1-m$ no lugar de $m$ . A solução geral da equação diferencial é, portanto, dada por

$Y_{n,m}=AC_{n,m}+B\left(1-x^2\right)^{-\frac{2m-1}{2}}C_{n,1-m}$

Em particular, com $m=0$ , que constitui o caso das funções trigonométricas, a solução geral é

$Y_{n,0}=AC_{n,0}+B\sqrt{1-x^2}C_{n,1}$

Ora, quando $n$ é ímpar, tem-se $C_{n,m}(0)=0$ e

$C_{n,1}(0)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}\frac{(2n-1)!}{2^{n-1}n!}$

Se se definir

$V_n=(-1)^{n}\frac{2^{n-1}}{(2n-1)!}C_{n,1}$

então, $V_n(0)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}$ se $n$ for ímpar. Além disso, o termo de maior grau do polinómio $V_n$ é positivo. Conclui-se, portanto, que

$\sin n\theta=\sin\theta V_n\left(\cos\theta\right)$

Não é difícil determinar a relação de recorrência para $V_n$ a partir da relação de recorrência de $C_{n,1}$ como

$\left\lbrace\begin{array}{l}V_0=0\\ V_1=1\\ V_n=2xV_{n-1}-V_{n-2}\end{array}\right.$

de onde se obtém a função geradora

$\frac{t}{t^2-2xt+1}=\sum_{n=1}^\infty{V_nt^n}$

e, determinando a expansão em fracções parciais,

$V_n=\frac{\left(x+i\sqrt{1-x^2}\right)-\left(x-i\sqrt{1-x^2}\right)^n}{2i\sqrt{1-x^2}}$

Com recurso a esta última expressão e à que foi obtida para $T_n$ pode-se mostrar a identidade com equivalente trigonométrico

$T_{n+m}=T_nT_m-\left(1-x^2\right)V_nV_m$

Da função geradora para $T_n$ vem

$\frac{t-x}{t^2+2xt+1}=\sum_{n=1}^\infty{T_nt^{n-1}}$

A integração da expressão anterior em ordem a $t$ , considerando o valor da função na origem permite escrever

$\frac{1}{2}\log\left(t^2-2xt+1\right)=\sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{n}T_nt^n}$

Note-se que $\log\left(t^2-2xt+1\right)$ resulta de $\phi=\log\left((y-1)^2+z^2\right)$ , fazendo as substituições

$\left\lbrace\begin{array}{l}y=tx\\ z=t\sqrt{1-x^2}\end{array}\right.$

e a teoria dos polinómios ortogonais poderá ser considerada a partir da aplicação do método da separação das variáveis à solução da equação $\nabla^2\phi=0$ , considerando aquele sistema de coordenadas. Trata-se do caso particular da dimensão dois. O caso mais geral conduz a uma mais abrangente família de polinómios ortogonais.

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